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Matemática Comercial e Financeira HP-12C Matemática Comercial e Financeira Amintas Paiva Afonso

Calculadora HP 12C A calculadora HP 12C

HP 12 C

Características da calculadora Criada em 1981, a HP 12C é a calculadora mais antiga e mais vendida de toda a história da HP. Duas de suas características principais são: a lógica RPN a pilha de operadores

Pilha de operadores

ROTINAS DA HP 12 C Para ligar ou desligar a calculadora, basta pressionar a tecla ON. Ao ser deixada ligada, a calculadora se desligará automaticamente dentro de alguns minutos.

ROTINAS DA HP 12 C Para alterar o separador decimal da calculadora, de ponto para vírgula ou vice-versa, adote os seguintes passos, com a calculadora desligada: Fique pressionando com um dedo a tecla do PONTO e dê um toque na tecla ON (pressione e solte). Pronto!

ROTINAS DA HP 12 C Para alterar o número de casas após a vírgula, basta pressionar a tecla “f” e em seguida o número de casas desejado. Por exemplo: Se quiser formatar o visor com 4 casas, pressione f 4.

ROTINAS DA HP 12 C RPN: Reverse Polish Notation. A Hewlett Packard utilizou nesta calculadora, o método desenvolvido pelo matemático polonês Jan Lukasiewicz. O método se adequou bem ao uso na calculadora, uma vez que dispensa a necessidade de parênteses. Exemplo: Método algébrico: (4 + 5) x 6 = 54 Método RPN: 4 ENTER 5 + 6 x

Lógica RPN Lógica algébrica: 4 + 5 = Resp: 9 A soma dos números 4 e 5 pode ser feita em uma operação algébrica da seguinte forma: Lógica algébrica: 4 + 5 = Resp: 9 Na lógica RPN, os operandos (os números) devem vir primeiro, e os operadores (os sinais), depois. Não é necessário o sinal de igualdade (=) Para separar os números usa-se a tecla ENTER Lógica RPN: 4 ENTER 5 + Resp: 9

Cálculos em cadeia (3 x 4) + (5 x 6) 12 + 30 42 No teclado da HP No Visor 3 ENTER 4 x 12,00 5 ENTER 6 x 30,00 + 42,00

Armazenando e recuperando números Para armazenar: STO X (onde X é um endereço numérico de 0 a 9) Para recuperar os registros armazenados: RCL X Para apagar TODOS os registros armazenados na calculadora, inclusive LAST X, pressionar F CLEAR REG

Aritmética com registradores de armazenamento Funciona somente com os registradores de 0 a 4: 5883 – 2295 – 1370 – 1014 + 105300 = 106454 No teclado da HP No Visor 5833 STO 0 5.833,00 2295 STO – 0 2.295,00 1370 STO – 0 1.370,00 1014 STO – 0 1.014,00 105300 STO + 0 105.300,00 RCL 0 106.454,00

Percentagem Total: %T Calcular a soma R$ 100,00 + R$ 200,00 + R$ 400,00 e a participação percentual total de cada um dos componentes no total geral. TECLAS VISOR 100 ENTER 100 200 + 300 400 + 700 100 %T 14,29 (%) CLX 200 % T 28,57 (%) CLX 400 % T 57,14 (%)

Diferença percentual: % Um produto custava R$ 200,00 e aumentou para R$ 250,00. Qual o aumento percentual? TECLAS VISOR 200 ENTER 200,00 250 % 25,00 (%)

Funções de calendário Formatos possíveis: Mês-Dia-Ano: g M.DY Dia-Mês-Ano: g D.MY Ex: 6 de janeiro de 1959: 6.011959 Dia com no máximo 2 dígitos Mês com dois dígitos Ano com 4 dígitos

Datas Futuras e Passadas Para determinar a data e o dia da semana a partir de uma data (1 = 2ª feira ...... 7 = Domingo): Um título assumido em 14 de maio de 1981 terá vencimento em 120 dias. Qual a data de vencimento? g D.MY 14.051981 ENTER 14.05 120 g DATE 11,09,1981 5 11,09,1981 5 = a 11 de setembro de 1981, uma 6ª feira.

Número de dias entre datas X.YYZZZZ (Introduzir a data mais antiga) ENTER X.YYZZZZ (Introduzir a data mais recente) g ∆ DYS A resposta é o nº exato de dias (incluindo dias adicionais de anos bissextos). Para respostas com base no mês comercial, de 30 dias, usar a tecla X <> Y

Quantos dias há entre 01/08/2000 e 15/08/2000? TECLAS VISOR g DMY * 15,082000 ENTER 15,08 1,082000 1,08000 g DYS - 14,00

Funções financeiras básicas Armazenando valores nos registradores financeiros: Digitar o valor e a tecla correspondente (n , i , PV , PMT ou FV) Consultando os valores armazenados: RCL (n, i, PV, ...) Apagando os registros financeiros: f CLEAR FIN Cuidado: f CLEAR REG apaga todos os registros, inclusive os registros financeiros.

Cálculo de Juros simples Podem ser calculados na base de 360 ou 365 dias, simultaneamente. Quando o valor dos juros acumulados estiver no visor, poderá ser calculado o montante (o valor do principal somado ao valor dos juros acumulados), bastando pressionar a tecla + CÁLCULOS (os valores podem ser fornecidos em qualquer ordem): Introduzir o nº de dias e pressionar n Introduzir a taxa de juros anual e pressionar i Introduzir o valor do principal e pressionar CHS PV Pressionar f INT para calcular os juros acumulados com base em 360 dias (p/ calcular com base em 365 dias pressione R X <> Y )

Exemplo Um empréstimo de R$ 45.000,00 por 60 dias, a uma taxa de juros de 7% a serem calculados na base de 360 dias. 60 n 60 7 i 7,00 45000 CHS PV - 45.000,00 F INT 525,00 (Juros) + 45.525,00 (Montante)

Funções Financeiras da HP 12C [n]: abastece ou calcula o número de períodos [i]: abastece ou calcula a taxa de juros [PV]: abastece ou calcula o Valor Presente [PMT]: abastece ou calcula a Prestação [FV]: abastece ou calcula o Valor Futuro

HP-12C JUROS COMPOSTOS Amintas Paiva Afonso

JUROS COMPOSTOS No RCC a incidência de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior.

NUNCA DIVIDA OU MULTIPLIQUE A TAXA DE JUROS. FÓRMULA DO MONTANTE VF = VP (1 + i)n PARA TORNAR COMPATÍVEL TAXAS E PRAZOS, CONVERTA SEMPRE OS PRAZOS PARA A MESMA BASE DAS TAXAS FORNECIDAS. NUNCA DIVIDA OU MULTIPLIQUE A TAXA DE JUROS.

VARIAÇÕES DA FÓRMULA VALOR PRESENTE NO RCC VF (1 + i )n VP = i = (VF /VP)1/n - 1 VF = VP x (1 + i) n log (VF/ VP) log (1 + i) n =

RCS x RCC R$ 100,00 aplicados a 10% ao mês Mês RCS RCC 100,00 1 110,00 2 120,00 121,00 3 130,00 133,10 4 140,00 146,41 5 150,00 161,05

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA VF JC JS 1 2 3 Mês

PARTICULARIDADES O Valor Futuro calculado no RCS e no RCC são iguais para período igual à unidade. O Valor Futuro calculado no RCC supera aquele obtido no RCS para períodos superiores à unidade. O Valor Futuro calculado no RCS é maior que o no RCC para períodos inferiores à unidade.

RCS x RCC R$ 100,00 aplicados a 60% ao mês Mês RCS RCC 100,00 0,1 106,00 104,81 0,5 130,00 126,49 0,8 148,00 145,65 1 160,00 2 220,00 256,00

Gráfico evolutivo RCC VF RCS 0,5 0,8 1 mês

OBSERVAÇÕES [ n ] número de períodos da série (aproximado para o inteiro superior) [ i ] taxa da série (para séries uniformes e não uniformes) [PV] Valor presente da série (Present Value) [FV] Valor futuro da série (Future Value)

Operações na HP 12C Embora algebricamente as operações com juros compostos possam ser um pouco mais difíceis do que as operações com juros simples, na prática, a calculadora HP 12C permite uma simplificação muito grande das operações. Veja a figura seguinte.

Exercícios na HP 12C A importância de $ 400,00 foi aplicada por 3 meses à taxa de 5% a.m., no regime de juros compostos. Qual o valor de resgate? 3 5 400 Resposta no visor: $ 463,05

EXERCÍCIO 1 VF = VP x (1 + i) n VF = 1000 x (1 + 0,02)5 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 1.000,00 em 5 meses a 2% ao mês. VF = VP x (1 + i) n VF = 1000 x (1 + 0,02)5 VF = 1000 x (1,02)5 VF = 1000 x 1,10408 VF = R$ 1.104,08

RESOLUÇÃO PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [5] [ n ] visor 5,0000 [2] [ i ] visor 2,0000 [1000] [CHS] [PV] visor - 1.000,0000 [FV] visor running (piscando) visor 1.104,0808 (Valor Futuro) [f ] 2 Fixar com duas casas decimais. visor 1.104,08 (Valor Futuro)

EXERCÍCIO 2 VF = VP x (1 + i) n VF = 8000 x (1 + 0,05)14 Suponha que Mariano aplique R$ 8.000,00 à taxa de juros compostos de 5% a.m.. Quanto ele terá daqui a 14 meses? VF = VP x (1 + i) n VF = 8000 x (1 + 0,05)14 VF = R$ 15.839,45

RESOLUÇÃO PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [14] [ n ] visor 14,0000 [5] [ i ] visor 5,0000 [8000] [CHS] [PV] visor - 8.000,00 [FV] visor running (piscando) visor 15.839,4528 (Valor Futuro) [f ] 2 Fixar com duas casas decimais. visor 15.839,45 (Valor Futuro)

EXERCÍCIO 3 VF = VP x (1 + i) n 8.400 = VP x (1 + 0,02)6 Uma operação no regime de capitalização composta rendeu um montante igual a R$ 8.400,00 após seis meses. Sabendo que a taxa da operação foi igual a 2% ao mês, calcule o valor presente. VF = VP x (1 + i) n 8.400 = VP x (1 + 0,02)6 VP = R$ 7.458,96

RESOLUÇÃO PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [6] [ n ] visor 6,0000 [2] [ i ] visor 2,0000 [8400] [CHS] [FV] visor - 8.400,0000 [PV] visor running (piscando) visor 7.458,9596 (Valor Presente) [f ] 2 Fixar com duas casas decimais. visor 7.458,96 (Valor Presente)

EXERCÍCIO 4 VF = VP x (1 + i) n 510 = 430 x (1 + i)1/4 Um capital inicial de R$ 430,00 rendeu R$ 80,00 de juros após permanecer aplicado por quatro meses. Qual foi a taxa de juros mensal da aplicação? VF = VP x (1 + i) n 510 = 430 x (1 + i)1/4 i = 0,0436 a.m. ou 4,36% a.m.

RESOLUÇÃO PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [4] [ n ] visor 4,0000 [510] [ FV] visor 510,0000 [430] [CHS] [PV] visor - 430,0000 [i] visor running (piscando) visor 4,3579 (valor da taxa ao mês) ou 0,0436 a.m. = 4,3579 % ao mês

EXERCÍCIO 5 VF = VP x (1 + i) n 630 = 570 x (1 + 0,03)n Um montante de R$ 630,00 foi obtido após aplicação de R$ 570,00 a uma taxa de juros compostos igual a 3% a.m. Qual foi a duração da operação? VF = VP x (1 + i) n 630 = 570 x (1 + 0,03)n n = 3,3859  4 meses

RESOLUÇÃO PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [630] [FV] visor 630,0000 [3] [ i ] visor 3,0000 [570] [CHS] [PV] visor - 570,0000 [ n ] visor running (piscando) visor 4,0000 (período de tempo = meses) a calculadora HP12C aproxima o resultado para o inteiro superior.

EXERCÍCIO 6 VF = VP x (1 + i) n VF = 140 x (1 + 0,05)2 VF = R$ 154,35 Uma máquina de calcular é anunciada por R$ 140,00 a vista ou para pagamento com prazo igual a dois meses, mediante uma taxa igual a 5% ao mês. Qual o valor futuro? VF = VP x (1 + i) n VF = 140 x (1 + 0,05)2 VF = R$ 154,35

RESOLUÇÃO PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [2] [ n ] visor 2,0000 [5] [ i ] visor 5,0000 [140] [CHS] [PV] visor - 140,0000 [FV] visor running (piscando) visor 154,3500 (Valor Futuro) [f ] 2 Fixar com duas casas decimais. visor 154,35 (Valor Futuro)

EXERCÍCIO 7 VF = VP x (1 + i) n VF = 8000 x (1 + 0,05)14 Suponha que Mariano aplique R$ 8.000,00 à taxa de juros compostos de 5% a.m.. Quanto ele terá daqui a 14 meses? VF = VP x (1 + i) n VF = 8000 x (1 + 0,05)14 VF = R$ 15.839,45

RESOLUÇÃO PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [14] [ n ] visor 14,0000 [5] [ i ] visor 5,0000 [8000] [CHS] [PV] visor - 8.000,00 [FV] visor running (piscando) visor 15.839,4528 (Valor Futuro) [f ] 2 Fixar com duas casas decimais. visor 15.839,45 (Valor Futuro)

EXERCÍCIOS VF = R$ 40.210,57 VF = R$ 199.116,88 8) Adriana aplicou R$ 1.000,00 durante 48 meses no regime de juros compostos com taxa de juro igual a 8% a.m. Determine qual o valor futuro dessa operação? VF = R$ 40.210,57 9) Calcule o valor futuro de uma capital de R$ 52.000,00, aplicados à taxa de juros compostos de 3,8% a.m. pelo prazo de três anos. VF = R$ 199.116,88

EXERCÍCIOS VF = R$ 11.959,52 VF = R$ 12.187,90 10) Um cliente do Banco Feliz contraiu um empréstimo no valor de R$ 6.800,00 para ser pago daqui a sete meses, mediante uma taxa de juro compostos igual a 8,4% a.m. Quanto deverá ser pago no vencimento? VF = R$ 11.959,52 11) Quanto Juliana terá, ao final de três anos, numa aplicação que rende 6,4% ao semestre, efetuando hoje um depósito de R$ 8.400,00? VF = R$ 12.187,90

EXERCÍCIOS 12) Se um cliente aplicou R$ 25.000,00 em um CDB de 42 dias, no regime de juros compostos, a uma taxa de juro de 50% a.a, quanto o banco deverá creditar em sua conta, desconsiderando o imposto de renda? Considere o ano comercial. VF = R$ 26.211,02 13) Calcule os juros auferidos após uma aplicação financeira de R$ 62.000,00, com prazo de 42 dias, a uma taxa efetiva de 18% a.a., assumindo regime de juros compostos e ano com 360 dias. J = R$ 1.208,8550

RESOLUÇÃO 12 PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [42] [ENTER] visor 42,0000 [360] [ / ] [ n ] visor 0,1167 [50] [ i ] visor 50,0000 [25000] [CHS] [PV] visor - 25000,0000 [FV] visor running (piscando) visor 26.211,0241 (Valor Futuro) [f ] 2 Fixar com duas casas decimais. visor 26.211,02 (Valor Futuro)

RESOLUÇÃO 13 PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [42] [ENTER] visor 42,0000 [360] [ / ] [ n ] visor 0,1167 [18] [ i ] visor 18,0000 [62000] [CHS] [PV] visor - 62000,0000 [FV] visor running (piscando) visor 63.208,8551 (VF) para achar o juros é só subtrair R$ 62.000 do VF [62000] [ - ] visor 1.208,8551 [f ] 2 visor 1.208,86 (Valor dos juros)

[f] [REG] 2 [ENTER] 12 [ / ] [n] 25 [i] 42000 [PV] [FV] EXERCÍCIOS 14) Um título federal com prazo de três meses tem valor de resgate igual a R$ 42.000,00 na data de seu vencimento e deve ser substituído por um outro com prazo de cinco meses a contar de hoje. Ou seja, existem dois meses entre os vencimentos dos títulos. Determine o valor nominal desse novo título, utilizando uma taxa de desconto racional igual a 25% ao ano, no regime de juros compostos. VF = R$ 43.591,41 [f] [REG] 2 [ENTER] 12 [ / ] [n] 25 [i] 42000 [PV] [FV] VF = 4200 (1 + 0,25)2/12

EXERCÍCIOS 15) Antônio Luiz tomou um empréstimo no valor de R$ 50.000,00, acertando um prazo de 230 dias e uma taxa efetiva de juros composto igual a 38% ao ano. Os juros serão pagos no final junto com a devolução do capital. Calcule os juros da transação, considerando o ano comercial. J = R$ 11.423,87 16) Samuel quer fazer uma aplicação hoje para possuir R$ 5.000,00 daqui a um ano. Sabendo que a taxa de juros compostos dessa operação é de 1,8% ao mês, quanto ele deve aplicar? VP = R$ 4.036,42

RESOLUÇÃO 15 PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [230] [ENTER] visor 230,0000 [360] [ / ] [ n ] visor 0,6389 [38] [ i ] visor 38,0000 [50000] [CHS] [PV] visor - 50000,0000 [FV] visor running (piscando) visor 61423,8732 (VF) para achar o juros é só subtrair $50.000 do VF [50000] [ - ] visor 11.423,8732 [f ] 2 visor 11.423,87

RESOLUÇÃO 16 PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [12] [ n ] visor 12,0000 [1,8] [ i ] visor 1,8000 [50000] [CHS] [FV] visor - 50000,0000 [PV] visor running (piscando) visor 4.036,4230 (VP) [f ] 2 visor 4.036,42

EXERCÍCIOS VP = R$ 41.914,2864 VP = R$ 590,7986 17) Qual o valor presente de um montante igual a R$ 48.700,00, aplicado à taxa de juros compostos de 35% ao ano por seis meses? VP = R$ 41.914,2864 18) Um consumidor pagou, mediante cartão de crédito, a quantia de R$ 625,00, referente à compra de um aparelho de som, realizada há 52 dias. Sabendo-se que o custo de oportunidade dos recursos do cliente foi igual a 3,3% a.m., por quanto poderia ter saído o eletrodoméstico, se comprado a vista? VP = R$ 590,7986

RESOLUÇÃO 17 PELA HP-12C [f ] 4 Fixar quatro casas decimais. [f ] [REG] Apagar registros anteriores. [STO] [EEX] Aparecerá um c no visor. (JC fracionáveis) [0,5] [ n ] visor 0,5000 [35] [ i ] visor 35,0000 [48700] [CHS] [FV] visor -48700,0000 [PV] visor running (piscando) visor 41.914,2864 (VP) [f ] 2 visor 41.914,29

RESOLUÇÃO 18 PELA HP-12C [f] [REG] 52 [ENTER] 30 [ / ] [n] 3,3 [i] 625 [CHS] [PV] Running 590,7986

TAXAS EQUIVALENTES RCC 10% am ?% aa 120% aa ?% am 30% as ?% am e ?% aa. 213,84 6,79% 4,47 e 69%

Operações com Séries Uniformes

Séries Uniformes Objetivos: discutir os principais aspectos associados às séries uniformes diferenciar séries antecipadas, postecipadas e diferidas.

Conceito de Séries Uniformes Consistem em uma seqüência de recebimentos ou pagamentos cujos valores são iguais. Genericamente, as séries uniformes podem ser representadas de acordo com a figura seguinte.

DFC genérico de série uniforme VP = Valor Presente PMT = Prestações ou Pagamentos n = número de pagamentos iguais Carência m + 1

Fórmula para séries uniformes A fórmula básica para uso em séries uniformes pode ser apresentada como: ( ) m n i PV PMT + × ú û ù ê ë é - = 1 Onde: PMT = Pagamento periódico igual m = carência em número de períodos n = número de pagamentos PV = Valor Presente i = taxa de juros

n Pagamentos Periódicos Séries Postecipadas O pagamento ocorre ao final do primeiro período Valor Presente Postecipada PMT n Pagamentos Periódicos Sem Entrada

Exercício de Fixação Uma máquina de cortar grama é anunciada por $ 600,00 a vista ou em 4 parcelas mensais iguais, sem entrada. Se a taxa de juros cobrada pela loja é igual a 2% a.m., qual o valor das prestações? A 157 B 167 C 177 D 187 E 197

Exercício de Fixação Um automóvel novo é vendido a vista por $ 40.000,00 ou em 10 parcelas mensais iguais sem entrada no valor de $ 5.180,18. Qual o valor da taxa de juros efetiva mensal (%) da operação? A B C D E 5 6 7 8 9

N Pagamentos Periódicos Séries Antecipadas Valor Presente O pagamento ocorre no início do primeiro período Antecipada PMT N Pagamentos Periódicos Com Entrada

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