POLIEDROS Professor: Ruy Ângelo SÓLIDO LIMITADO POR POLÍGONOS PLANOS, DE MODO QUE: DOIS DESSES POLÍGONOS NÃO ESTÃO NUM MESMO PLANO; CADA LADO DE UM POLÍGONO É COMUM A DOIS E SOMENTE DOIS POLÍGONOS Polígono: Figura fechada simples formada por segmentos de retas

POLIEDROS REGULARES

PLANIFICAÇÃO

V - A + F = 2. RELAÇÃO DE EULER Uma igualdade descoberta por Euler em 1751 relaciona os números V de vértices, F de faces e A de arestas: V - A + F = 2. Na tabela que se segue pode verificar-se diretamente a validade desta fórmula de Euler no caso dos cinco poliedros regulares, dos prismas e das pirâmides; a fórmula é verdadeira para outros poliedros , mas não para todos.

V A F V-A+F tetraedro 4 6 2 cubo 8 12 octaedro dodecaedro 20 30   V A F V-A+F tetraedro 4 6 2 cubo 8 12 octaedro dodecaedro 20 30 icosaedro

Resposta Final: 12 vértices. Exemplo Um poliedro convexo possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcular o número de vértices desse poliedro Vamos inicialmente determinar o número de arestas: Resposta: 18 arestas Aplicando a relação de Euler: V – A + F = 2 Resposta Final: 12 vértices.

PRISMAS O estudo dos poliedros é dividido em Prismas e Pirâmides. Vamos inicialmente trabalhar com os prismas. PRISMAS

Prisma de base hexagonal

Os prismas são formados por dois planos paralelos, em um dos planos há um polígono e todas as retas com extremidades nesse polígono tem a outra extremidades no outro plano, Veja a figura abaixo:                                         Podemos dizer então que um prisma possui duas bases em planos diferentes.

Toda figura geométrica possui elementos específicos, Veja a figura abaixo, onde estão representados todos os elementos de um prisma. Os polígonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’ são as bases desse prisma. ►Os pontos A,B,C,D,E,F,A’,B’,C’,D’,E’,F’ são os vértices do prisma. ►Os segmentos de reta:                               são as arestas laterais do prisma (arestas que formam as faces laterais). ►As bases também possuem arestas os segmentos de reta que formam essas arestas são:                                                                      ►Uma reta perpendicular as duas bases é a altura do prisma. Os polígonos formados pelos pontos                                                           são as faces laterais do polígono.

Prisma regular: é um prisma reto cuja base é um polígono regular.

Áreas das figuras planas. Situação problema: Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é de 20 cm e que o lado do polígono da base mede 16 cm, calcule a área de papelão necessária para se construir essa embalagem. Admita que se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e para que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa.

Áreas e superfícies de prismas.

Perímetro de figuras planas Área do retângulo Área do quadrado Área do paralelogramo Área do losango Área do triângulo Área do trapézio Área do hexágono Área do círculo

d a b Área do retângulo

1)Calcule a área de uma superfície retangular sabendo que a base é o dobro da medida da altura e a diagonal mede 5 metros.

Área do quadrado d a

2)Um hexaedro regular tem a diagonal medindo 6cm 2)Um hexaedro regular tem a diagonal medindo 6cm. Calcule a área total desse prisma.

3)Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas estão representadas na figura abaixo. Calcule a área desse terreno. 135° 16cm 20cm

Área do paralelogramo h a b Área do losango D d a

Determine o volume do prisma oblíquo cuja base é um paralelogramo com dois ângulos de 120°. 5cm 10cm 6cm 60°

Área do Triângulo Equilátero. h a Área do Triângulo Equilátero. Área do triângulo c b a h

Calcule a área de um triângulo cujas medidas dos lados são 10cm, 12cm e 8cm.

Área do hexágono regular b B h m Área do trapézio Área do hexágono regular L

POLÍGONO REGULAR DE “n” LADOS

Exemplo Qual a área de um icoságono cujo apótema mede 12 cm . (Use:tg 9°= 0,16)

Área do círculo Perímetro Diâmetro r r r r r Área do setor circular

Área da coroa circular R r

Cálculo de áreas especiais Contar o número de quadrados inteiros no interior da figura; 43 Contar o número de quadrados inteiros que cobrem toda a figura. 80 Soma todos e divide por dois

Calcule a área da figura abaixo.

1)Uma barra de chocolate tem o formato da figura abaixo. Atividade 1)Uma barra de chocolate tem o formato da figura abaixo. Calcule o volume de chocolate contido nessa barra. 4 4 4 12

Um poliedro é formado por 8 triângulos e 6 octógonos Um poliedro é formado por 8 triângulos e 6 octógonos. Quantos vértices esse poliedro possui, sabendo que ele obedece a relação de Euler? Mostre fazendo os cálculos. (Veja a sua planificação)

PLANIFICAÇÃO DA PIRÂMIDE

1) Uma barraca piramidal é sustentada por seis hastes metálicas cujas extremidades são o vértice da pirâmide e os seis vértices da base. A base é um polígono cujos lados têm todos o mesmo comprimento, que é de 3 m. Se a altura da barraca é de 3 m, qual é o volume de ar nessa barraca?

2) Uma peça de vidro tem o formato e as medidas da figura 2) Uma peça de vidro tem o formato e as medidas da figura. Supondo-a maciça, qual o volume de vidro usado para fazer essa peça?

3)Uma pedra preciosa tem a forma da figura abaixo 3)Uma pedra preciosa tem a forma da figura abaixo. Sabendo que a pedra tem 6 mm em todas as arestas, calcule o volume da pedra.

PLANIFICAÇÃO DO TRONCO DA PIRÂMIDE TRONCO DE PIRÂMIDE

CILINDRO Área lateral é a área de um retângulo .

1)Um aquário cilíndrico, com 30cm de altura e área da base igual a 1200cm2, está com água até a metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5cm. Então, calcule o volume das pedras.   

2) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do nível da água em 1,5 cm. Se o raio da base do cilindro mede 5 cm, qual o volume do sólido?

VOLUME Pelo Teorema de Pitágoras calcule h em função de R. G=geratriz CONE RETO CONE OBLÍQUO VOLUME O V’ V G=geratriz CONE EQUILÁTERO. G=2R Pelo Teorema de Pitágoras calcule h em função de R. G=geratriz

Elementos do Cone: Base - S Raio - r Vértice - V Geratriz - g Eixo - OV Altura - h Seção transversal - S' Seção reta - S'' Seção meridiana - AVB

Exemplo 1 A geratriz de um cone equilátero mede cm. Calcule a área da secção meridiana do cone, em cm².

2)Bárbara colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica, conforme a figura, de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Em seguida preencheu a região toda acima da casquinha com sorvete. Mostre com cálculos onde cabe mais sorvete. Se dentro da casquinha ou na forma inventada por ela?

TRONCO DE CONE

(1 UFRN)

Área A área de uma esfera pode ser obtida a partir da expressão: Definição de uma esfera Uma esfera é definida como um sólido de centro O e raio R cujos conjunto de pontos do espaço estão a uma distância do centro igual ou menor que R. Área A área de uma esfera pode ser obtida a partir da expressão: A = 4 π . R2 Volume O volume da esfera é dado pela expressão: V =  4  .  π . R3         3

Questão 1 Considere o planeta terra como uma esfera de raio R=6400Km. Sabendo que aproximadamente 70% de sua superfície é coberta por água e desprezando o relevo da superfície terrestre, determine a área ocupada pelas terras não submersas em nosso planeta. Considere Л=3.

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo: Considerando o ângulo a em graus podemos afirmar que a área do fuso é uma fração ά/ 360 da área da esfera.

Exercício 1)Dois copos, um em formato de cone circular reto e outro em formato de cilindro circular reto, tem um mesmo volume. Se o raio da base do copo cilíndrico é um terço do raio da base do copo em formato de cone, a altura do copo cilindrico vale quanto em função da altura do cone?

2) Um rótulo retangular, contendo a prescrição médica, foi colado em toda a superfície lateral de um recipiente de forma cilíndrica de um certo remédio, contornando-o até as extremidades e se encontrando sem haver superposição. Sabendo-se que o volume do recipiente (desprezando-se a sua espessura) é 192π cm³ , pode-se afirmar que a área do rótulo, em cm², é igual a quanto? H=12 H=12

3)Qual o volume do cubo inscrito em uma esfera de raio R=4cm

4)(UFRN)Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm. Após o gelo derreter completamente, a altura do nível da água no copo será de aproximadamente: a)8,5 cm b)8,0 cm c)7,5 cm d)9,0 cm