Cinemática de uma partícula Mecânica Geral II Cinemática de uma partícula Edmundo Sahd Neto

Introdução Dinâmica é o ramo da mecânica que estuda o movimento, sendo dividida em cinemática e cinética. Cinemática: Trata apenas dos aspectos geométricos do movimento não preocupando-se com suas causas. Cinética: Estuda o movimento e suas cauas, tem como base a 2° Lei de Newton A dinâmica é mais abrangente do que a estática. Neste caso, tanto as forças quanto a posição são função do tempo. De maneira geral, álgebra e trigonometria não são suficientes para resolver os problemas, sendo necessário a aplicação do cálculo para a solução.

CINEMÁTICA DE UMA PARTÍCULA

Conceitos básicos Antes de proceder a análise dos problemas, é importante apresentar algumas definições básicas Posição: É o local no espaço ocupado por uma partícula. Devemos, portanto, definir sempre uma origem para o sistema de coordenadas. Deslocamento: É a variação da posição. Em outras palavras, é a diferença entre a posição final e a posição inicial

Conceitos Básicos Deve-se atentar para o detalhe que distância e deslocamento são conceitos totalmente diferentes. O deslocamento está relacionado com a variação da posição. É uma grandeza vetorial, podendo possuir tanto valores positivos quanto negativos. A distância está relacionada com o caminho percorrido. É uma grandeza escalar e pode assumir apenas valores positivos Deslocamento Distância (ST ou d)

Movimento retilíneo Inicialmente faremos a análise do deslocamento de uma partícula em uma linha reta onde sua posição, velocidade e aceleração são definidas em função do tempo. Devemos entender como partícula algo que tem massa, porém, dimensões desprezíveis ao problema. Velocidade: Se uma partícula move-se com um deslocamento DS em um intervalo de tempo Dt, dizemos que ela possui uma velocidade média

Movimento retilíneo Velocidade instantânea: Se conhecemos a função posição da partícula, podemos aplicar o limite com Velocidade escalar média (vm): É um escalar, sempre positivo, definido como sendo a distância percorrida em um intervalo de tempo.

Movimento retilíneo Aceleração média (a): A aceleração representa a variação da velocidade em um intervalo de tempo. Aceleração instantânea: É o valor da aceleração em um tempo especifico. É dada por:

Movimento retilíneo É possível ainda determinar a velocidade em função da posição, ou seja, trabalhar de forma independente do tempo. Neste caso, temos

Caso da aceleração constante Para os casos onde a aceleração é constante , as integrais podem ser solucionadas determinando assim equações que relacionam posição, velocidade, aceleração e tempo Temos, portanto, três situações Velocidade como função do tempo - v(t) Posição como função do tempo - s(t) Velocidade como função da posição - v(s) As equações apresentadas a seguir são validas apenas para casos onde a aceleração é constante

Velocidade em função do tempo Para o caso de a=cte, podemos facilmente determinar a velocidade em função do tempo integrando

Posição em função do tempo Integrando a função da velocidade chega-se a função posição em função do tempo

Velocidade em função da posição Em alguns casos é conveniente expressar a velocidade em função da posição de modo que a função seja independente do tempo. Fazendo a igualdade a.v=a.v e substituindo um dos termos em cada lado pela sua derivada temporal, podemos remover a variável tempo chegando a seguinte conclusão Integrando em ambos os lados, temos

Exemplo 1 Durante um teste, um foguete sobe a 75 m/s quando seu motor falha a 40m do solo. Determine: a) A altura máxima que ele alcança (sB) b) A velocidade imediatamente antes de atingir o solo. (vC)

Exemplo 1 Um dos pontos mais importantes nestes casos é definir a origem do sistema de coordenadas que, neste caso, será o solo. Como a aceleração é constante após a falha do motor (g=9,81 m/s2 para baixo) temos

Exemplo 1 De forma análoga é possível determinar a velocidade logo antes de atingir o solo no ponto C. O mesmo resultado seria obtido analisando os pontos A e C

Movimento Retilíneo – Movimento Variado

Movimento Retilíneo – Movimento Variado Em muitos casos, o movimento apresenta um comportamento errático, de modo que é impossível definir uma única função contínua para analisar a posição, velocidade e aceleração. Nestes casos, a melhor forma de resolver o problema é através da utilização de gráficos. Se tomarmos como exemplo a figura ao lado, observa-se que ela representa graficamente a posição em função do tempo. Neste caso, nos primeiros 6 segundos, temos s=0.5.t3. È fácil observar que aos 6s a partícula parou em 108 e permaneceu ali até os 10s

Movimento Retilíneo – Movimento Variado Desta forma, é possível analisar o movimento derivando ou integrando cada uma das funções definidas em um intervalo. Derivando a posição, determina-se a função velocidade para os diferentes intervalos. Uma vez levantada as funções, basta traçar o gráfico para cada intervalo. O mesmo é feito com as funções da aceleração que são obtidas a partir da derivada das funções da velocidade.

Exemplo 2 Uma bicicleta movimenta-se ao longo de uma linha reta cuja posição é descrita pelo gráfico dado. Construa o gráfico v-t a a-t para o intervalo 0≤t ≤30s

Exemplo 2 Para o intervalo 0≤t<10 Para o intervalo 10≤t<30

Exemplo 3 Um dragster parte do repouso e acelere em linha reta com aceleração igual a 10 m/s2 nos primeiros 10s e então começa a desacelerar a 2m/s2 até parar. Determine o tempo t´ até ele parar. Qual a distância percorrida?

Exemplo 3 Para o intervalo 0≤t<10 Para o intervalo 10≤t<t´ Partindo da aceleração é possível determinar a velocidade Para o intervalo 0≤t<10 Para o intervalo 10≤t<t´

Exemplo 3 Para o intervalo 0≤t<10 Para o intervalo 10≤t<60 Com a velocidade é possível levantar as funções da posição Para o intervalo 0≤t<10 Para o intervalo 10≤t<60

Exemplo 4 Uma moto movimenta-se conforme o grafico apresentado. a)Represente o gráfico a-s b)Determine o tempo necessário para a moto alcançar 400 ft

Exemplo 4 Para o intervalo 0≤s<200 Para o intervalo 200≤s<400

Exemplo 4 Para o intervalo 0≤s<200 Para o intervalo 200≤s<400 Logo, t(400)