Geometria Espacial de posição Professor: João Gilberto

Introdução A já conhecida Geometria Plana trata de figuras cujos pontos estão todos num mesmo plano, ou seja, estuda figuras de uma ou duas dimensões; A Geometria Espacial trata de figuras cujos pontos podem não estar todos num mesmo plano. Reta: figura plana de uma dimensão Triângulo: figura plana de duas dimensões Cubo: figura espacial de três dimensões

A Geometria Espacial de Posição requer os seguintes elementos: A Geometria Espacial Métrica estuda volumes e superfícies de sólidos e a Geometria Espacial de Posição estuda as posições relativas de figuras geométricas no espaço. A Geometria Espacial de Posição requer os seguintes elementos: Postulado: proposição que se aceita verdadeira sem demonstração; Teorema: proposição que se aceita como verdade por meio de demonstração.

Conceitos primitivos A São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria Espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto retas: letras minúsculas do nosso alfabeto planos: letras minúsculas do alfabeto grego Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. A r 

Postulados Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Postulado da Existência: Existem ponto, reta e plano. Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Num plano, bem como fora dele, Existe ponto Ponto A A Existe reta, e nela, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Reta s Existe plano, e nele, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

Postulado da Determinação: Dois pontos distintos determinam uma única reta. Três pontos não colineares determinam um único plano. A r B C A B 

Postulado da Inclusão: Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida nesse plano. Postulado da divisão: Um ponto de uma reta divide-a em duas regiões denominadas semi-retas. O ponto é a origem das semi-retas, e elas são chamadas opostas. Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semi-planos. A reta é a origem dos semiplanos, e eles são chamados opostos. Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semi-espaços. O plano é a origem dos semi-espaços, e eles são chamados opostos. A r B 

B O r A B O A O r r r

Postulado da Intersecção: Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então têm uma única reta em comum passando por esse ponto. Postulado das Paralelas: Dado um ponto P e uma reta r, existe e é única, a reta que passa por P e é paralela à r. P s r

Posições relativas de duas retas Retas concorrentes: quando têm um único ponto em comum. Retas paralelas distintas: quando forem coplanares e não tiverem ponto em comum. P r  s r s 

Retas paralelas coincidentes: quando tiverem todos os pontos em comum. r = s Retas reversas: quando não forem coplanares.

Ângulo entre retas reversas Define-se ângulo entre duas retas reversas (r e s) como sendo o ângulo de uma reta r’ paralela a r e concorrente com s. r r´ s

Retas ortogonais: quando formarem ângulo reto (inclusive reversas). Retas perpendiculares: quando forem concorrentes e formarem ângulo reto. Retas ortogonais: quando formarem ângulo reto (inclusive reversas). r P s r r' s P P

Retas ortogonais São retas reversas que formam ângulo de 90º ou retas perpendiculares. a e b são perpendiculares c e g são paralelas f e h são ortogonais e e d são ortogonais

Determinação de Plano C A B  P r  Três pontos não colineares determinam um plano. Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano. C A B  P r 

r s  P  Duas retas paralelas distintas determinam um plano. Duas retas concorrentes determinam um plano. r s  r P s 

Quadrilátero reverso É o quadrilátero cujos vértices não são coplanares, ou seja, não há plano que os contenha.

Posições relativas de reta e plano Uma reta está contida em um plano quando ela tem dois pontos distintos pertencentes ao plano. Uma reta e um plano são concorrentes ou secantes quando têm um único ponto em comum. B A r  r P 

Uma reta é paralela a um plano quando eles não têm ponto em comum. 

Conceitos sobre paralelismo entre reta e plano Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano. r s t

Conceitos sobre paralelismo entre reta e plano Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano. r s

Posições relativas de dois planos Dois planos são concorrentes ou secantes se têm uma única reta em comum. Dois planos são paralelos coincidentes se têm todos os pontos em comum. i  b  = b

Dois planos são paralelos distintos quando não têm ponto em comum. b

Conceitos sobre paralelismo entre planos Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. s a b

Conceitos sobre paralelismo entre planos Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente com um deles é concorrente com o outro. P a Q b

Conceitos sobre paralelismo entre planos Se um plano contém duas retas concorrentes, que são paralelas a um plano, então esses planos também são paralelos. r P a s b

Perpendicularismo Reta e plano a b c P a e d Uma reta é perpendicular a um plano  quando ela é concorrente com o plano e é perpendicular a todos as retas de , que passam pelo seu traço no plano. a b c P a e d

Perpendicularismo Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. r s P t a

Planos perpendiculares Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro. r i t a b

Teorema das três perpendiculares Sejam r, s e t três retas e a um plano tais que r  a, r  t, s  a, t  a e s  t. Assim, qualquer reta a concorrente com r e s, passando por S, será perpendicular a s. r s t O S a a

Projeção ortogonal A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o plano, que traça com o ponto projetado uma reta perpendicular ao plano. P r P’ a

Q s P s Q P’ s' Q’ s'  Q’ P P’  s P’  A projeção ortogonal de uma reta r sobre um plano pode ser uma reta r’ ou um ponto. Q s P s Q P’ s' Q’ s'  Q’ P P’  s P’ 

A projeção ortogonal de um segmento de reta PQ sobre um plano pode ser um segmento P’Q’ ou um ponto. A projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre um plano  pode ser um segmento de reta ou um triângulo A’B’C’.  Q P P’ Q’ P  Q P’ = Q’ Q P P’ Q’ 

Projeção de uma figura A B D C B’ A’ D’ C’ A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano. A B D C B’ A’ D’ C’ a

Distâncias Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB, indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância entre eles é zero. Dados um ponto P e uma reta r, a distância entre eles é a distância entre P e a sua projeção ortogonal P’ sobre r. Caso P pertença à reta r, dizemos que a distância é zero. A B A = B P r P’

Dados um ponto P e um plano , a distância entre eles é a distância entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre . Caso P pertença ao plano , dizemos que a distância entre eles é zero. Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano, distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano. P d s P’ a t P r d s P’ a t

Quando dois planos têm ponto em comum, a distância entre eles é igual a zero. Quando dois planos são paralelos distintos, a distância (d) entre eles é igual a distância de um ponto qualquer de um deles ao outro. P a P’ b

Quando duas retas têm um ponto em comum, a distância (d) entre elas é igual a zero. Quando duas retas são paralelas distintas, a distância (d) entre elas é igual a distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra. r P d s P’

A distância (d) entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem uma extremidade em cada reta e é perpendicular a ambas (segmento perpendicular comum às duas retas). a s P r d b P’