CÁLCULO COMBINATÓRIO
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS PROPRIEDADES DA REUNIÃO E DA INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
𝐴 ∪𝐴=𝐴∪ 𝐴 =U 𝐴 ∩𝐴=𝐴∩ 𝐴 =∅ 𝐴 =A EXERCÍCIO 1 , página 12
PROPRIEDADES DA INCLUSÃO DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B (ou que A é um subconjunto de B), e representa-se por A ⊂ B, quando é verdadeira a proposição: ∀𝑥, 𝑥 ∈𝐴 ⇒ 𝑥 ∈𝐵 Dados dois conjuntos E e F, diz-se que são iguais, e representa-se por E = F, se e só se E ⊂ F e F ⊂ E.
Propriedade Dados os conjuntos A e B, tem-se que: a) A ⊂ B se e só se 𝑨∩𝑩=𝑨 b) A ⊂ B se e só se 𝑨∪𝑩=𝑩 Demonstração da a)
Propriedade Dados os conjuntos A e B, subconjuntos de um conjunto U: A ⊂ B se e só se 𝑩 ⊂ 𝑨 Demonstração: Propriedade O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Demonstração: O conjunto vazio, ∅ , por definição, não tem qualquer elemento. Assim, dado um conjunto A, tem-se ∅∩𝐴=∅ Então, ∅⊂𝐴
Leis de De Morgan para conjuntos
Observação: A\B = A ∩ 𝐵 Exercício 3, página 14 Exercício 4, página 15 Exercício 5, página 15
PRODUTO CARTESIANO O produto cartesiano de A por B é um conjunto que se representa por A x B, sendo os seus elementos todos os pares ordenados (x, y), em que 𝑥∈𝐴 𝑒 𝑦∈𝐵 PROPRIEDADES DO PRODUTO CARTESIANO Demonstração:
Exercício 6, página 16
CARDINAL DE UM CONJUNTO Conjuntos equipotentes Dados dois conjuntos A e B diz-se que são equipotentes ou que têm igual cardinal (#A = #B) se e só se existe uma bijeção de A sobre B. Exemplo
CARDINAL DE UNIÃO DE CONJUNTOS DISJUNTOS
Exercício 7, página 17
CARDINAL DO PRODUTO CARTESIANO DE DOIS CONJUNTOS DISJUNTOS
Exercícios 8, 9 página 19; 10, 11, 12 página 20; 13, 14, 15 página 21; 16, 17 página 22
Conjunto das partes de um conjunto E
Exercício 18, página 23
FATORIAL DE UM NÚMERO INTEIRO NÃO NEGATIVO
Exercício 19, página 24 Exercício 20, 21, 22, página 25