Introdução à Integral Definida Aula 03 – Matemática II – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Área Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas.

Por exemplo Podemos citar o círculo. Para definir sua área consideramos um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn. A área do círculo será dada Ac = n.At onde At = área do polígono e n o número de polígonos inscritos. r ht b

lim 𝑛→∞ 𝐴 𝑛 = 2𝜋𝑟.𝑟 2 =𝜋𝑟², que é a área do círculo. Como a área do polígono é a área do triângulo temos: 𝐴 𝑡 = 𝑏. ℎ 𝑡 2 E o perímetro do polígono é 𝑃 𝑛 =𝑛.𝑏 A área do círculo será dada por 𝐴 𝑐 =𝑛. 𝑏. ℎ 𝑡 2 = 𝑃 𝑛 . ℎ 𝑡 2 Temos: lim 𝑛→∞ 𝐴 𝑛 = 2𝜋𝑟.𝑟 2 =𝜋𝑟², que é a área do círculo. Fazendo 𝑛 crescer cada vez mais, isto é, 𝑛→∞, o polígono Pn torna-se uma aproximação de um círculo. O perímetro pn aproxima-se do comprimento da circunferência 2𝜋𝑟 e a altura ht aproxima-se do raio 𝑟.

Para definir a área de uma figura plana qualquer, procedemos de forma análoga. Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos métodos da geometria elementar.

Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana 𝑆, delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa y=𝑓(𝑥), pelo eixo dos 𝑥 e por duas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏.

Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a,b], isto é, dividimos o intervalo [a,b] em 𝑛 subintervalos, escolhendo os pontos: Veja figuras abaixo. Na primeira subdividimos a área em quatro subintervalos. Na segunda subdividimos a área em oito subintervalos.

Considerando: 𝑛 o número de retângulos; Cada retângulo tem base ∆𝑥= 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1 A altura de cada retângulo igual a 𝑓 𝑥𝑛 A soma das áreas dos 𝑛 retângulos, que representamos por 𝑆𝑛 é dada por: 𝑆 𝑛 =𝑓 𝑥 1 .∆ 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 .∆ 𝑥 2 +...+𝑓 𝑥 𝑛 .∆ 𝑥 𝑛 = 𝑥=1 𝑛 𝑓( 𝑥 𝑛 )∆ 𝑥 𝑛 Soma de Riemann

𝐴= lim 𝑚á𝑥∆ 𝑥 𝑖 →0 𝑖=1 𝑛 𝑓( 𝑥 𝑖 )∆ 𝑥 𝑖 , Podemos observar que à medida que n cresce muito, ∆𝑥 diminui, tornando-se muito pequeno, e com isso a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos com área de S. Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função contínua, não negativa e [𝑎,𝑏]. A área sob a curva de 𝑦 = 𝑓(𝑥), de 𝑎 até 𝑏, é definida por: 𝐴= lim 𝑚á𝑥∆ 𝑥 𝑖 →0 𝑖=1 𝑛 𝑓( 𝑥 𝑖 )∆ 𝑥 𝑖 , Definição:

Como calcular essa área? Exemplo Seja R a região sob a curva da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1 no intervalo 1≤𝑥≤3, como indica a figura. Como calcular essa área?

1º passo: decidir o número de intervalos 𝑛 e calcular ∆𝑥= 𝑏−𝑎 𝑛 . ∆𝑥= 3−1 4 = 1 2 2º passo: construir uma tabela com valores correspondentes: 𝒙 𝒊 1 3/2 2 5/2 𝑓( 𝑥 𝑖 ) 3 4 5 6 3º passo: Calcular a área usando a Soma de Riemann: 𝑆= 3+4+5+6 . 1 2 𝑆=9

Exemplo: aumentando o número de intervalos 𝑛 e calcular ∆𝑥= 𝑏−𝑎 𝑛 . Se continuarmos a subdividir a região R usando um numero cada vez maior de retângulos, as somas correspondentes se aproximam cada vez mais da área exata de A. Exemplo: aumentando o número de intervalos 𝑛 e calcular ∆𝑥= 𝑏−𝑎 𝑛 . ∆𝑥= 3−1 8 = 1 4 𝒙 𝒊 1 5/4 3/2 7/4 2 9/4 5/2 11/4 𝑓( 𝑥 𝑖 ) 3 7/2 4 9/2 5 11/2 6 13/2 Calcular a área usando a Soma de Riemann: 𝑆= 3+ 7 2 +4+ 9 2 +5+ 11 2 +6+ 13 2 . 1 4 𝑆=9,5

Conhecida como Soma de Riemann A Integral Definida A área é apenas uma das muitas grandezas que podem ser expressas como o limite de uma soma. Para lidar com todos os casos, incluindo aqueles nos quais a condição 𝑓 𝑥 ≤0 não é satisfeita, usamos Integral Definida. Seja 𝑓(𝑥) uma função contínua no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏. Suponha que este intervalo tenha sido dividido em 𝑛 partes iguais de largura ∆𝑥= 𝑏−𝑎 𝑛 e seja 𝑥 𝑗 um número pertencente ao intervalo de ordem j, para j = 1, 2, ..., n. Forme a soma 𝑓 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 +…+𝑓 𝑥 𝑛 .∆𝑥 Conhecida como Soma de Riemann Integral Definida

𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 +…+𝑓 𝑥 𝑛 .∆𝑥 A Integral Definida Neste caso, a integral definida de 𝑓(𝑥) no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏, representada pelo símbolo 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 é dada pelo limite da Soma de Riemann quando 𝑛→ ∞, ou seja, 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 +…+𝑓 𝑥 𝑛 .∆𝑥 A função f(x) recebe o nome de integrando e os números 𝒂 e 𝒃 são chamados de limite inferior de integração e limite superior de integração, respectivamente. O processo de calcular uma integral definida é chamado de integração definida. Integral Definida

A área como uma integral definida Seja f(x) uma função contínua e 𝑓(𝑥)≥0 no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏, a área A da região R sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏 é dada pela integral definida 𝐴= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 R

O Teorema Fundamental do Cálculo Se calcular o limite de uma soma fosse a única forma de obter o valor de uma integral definida, o processo de integração provavelmente não passaria de uma curiosidade matemática. Felizmente, existe um meio mais simples de executar o cálculo, graças a um importante teorema que relaciona a integral definida à antiderivação. Teorema Fundamental do Cálculo: Se a função f(x) é contínua no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏, 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎) Onde F(x) é a antiderivada de f(x) no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏.

Nas aplicações do teorema fundamental, usaremos a notação: 𝐹 𝑥 𝑏 𝑎 =𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎) Assim, 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 𝑏 𝑎 =𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎)

Exemplos 1) Use o teorema fundamental do cálculo para determinar a área da região sob a curva da reta y = 2x+1 no intervalo 1≤𝑥≤3. 2) Calcule as integrais definidas: 0 1 (𝑒 −𝑥 + 𝑥 )𝑑𝑥 1 4 1 𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑥

Regras para Integrais Definidas Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏. Nesse caso, Regra da multiplicação por uma constante: 𝑎 𝑏 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝑘 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 onde k é uma constante Regra da soma: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Regra da diferença 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥− 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=0 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=− 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Regra da subdivisão: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑐 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Exemplos Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo −2≤𝑥≤5 que satisfazem as equações: −2 5 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=3 −2 5 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=−4 3 5 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=7 Use as informações para calcular as seguintes integrais definidas: −2 5 2𝑓 𝑥 −3𝑔 𝑥 𝑑𝑥 −2 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Uso da substituição em Integrais Definidas Quando usamos a substituição 𝑢 = 𝑔(𝑥) para calcular a integral definida da forma 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, podemos proceder de duas formas diferentes: Usar a substituição para obter uma antiderivada 𝐹(𝑥) de 𝑓(𝑥) e em seguida calcular a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo. Usar a substituição para expressar o integrando e 𝑑𝑥 em termos de 𝑢 e 𝑑𝑢 e substituir os limites originais de integração, 𝑎 e 𝑏, por limites transformado 𝑐 = 𝑔(𝑎) e 𝑑 = 𝑔(𝑏). A integral original pode ser, então, calculada aplicando o teorema fundamental do cálculo à integral definida transformada.

Exemplos: Determine 0 1 8𝑥( 𝑥 2 +1)³ usando as duas opções citadas anteriormente.

Exercícios Calcule a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo: −2 1 𝜋𝑑𝑥 1 4 5−2𝑡 𝑑𝑡 1 4 2 𝑢 𝑑𝑢 4 9 𝑥 −3/2 𝑑𝑥 −1 1 1 𝑒 𝑥 − 1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 −1 0 −3 𝑥 5 −3 𝑥 2 +2𝑥+5 𝑑𝑥 g) 1 9 𝑡 − 4 𝑡 𝑑𝑡 h) 1 6 𝑥 2 𝑥−1 𝑑𝑥 −3 0 ( 2𝑥+6) 4 𝑑𝑥 j) 1 2 𝑥² ( 𝑥 3 +1)² 𝑑𝑥 k) 0 1 6𝑡 𝑡 2 +1 𝑑𝑡 l) 1 2 (𝑡+1)( 𝑡−2) 6 𝑑𝑡