PROBALIDADE & VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Probabilidade e Freqüência Relativa - Def. Probabilidade Conjunta (Joint) - Def. Probabilidade Condicional - Def. Regra do Produto ( Bayes) Eventos Independentes : Axiomas da Probabilidade :    S  Evento certo AB =  em 

P(x) x Result [.] Valor da RV x [.] Probab. P(x) A 0.0 0.10 B -3.0 0.05 C -1.5 0.20 D -2.0 0.15 E +0.5 F +1.0 G +2.0 0.00 H +3.0 0.30   Total 1.00 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Uma variável aleatória real é uma função de valor real definida sobre o espaço amostral de um sistema de probabilidade. P(x) A C B E 0.3 D F G H x -3 -2 -1 0 1 2 3 Diagrama de Venn

Função Distribuição de Probabilidade Def. FDP de uma v.a. x é dada por F(x), onde x -3 -2 -1 0 1 2 3 0.4 0.2 1.0 F (x) Função Densidade de Probabilidade Def. fdp de uma v.a. x é dada por f(x), onde x -3 -2 -1 0 1 2 3 0.3 f (x)

Média e Momentos no Ensemble Teorema Teorema Se x é uma v.a. discreta, então onde M é o número de pontos. Teorema - Se x é discreta, então onde L é o maior inteiro tal que xL  x e L  M, onde M é o núme- ro de pontos na distribuição. Aqui assume-se que x1 < x2 < ···< xM. Média e Momentos no Ensemble Def - O valor esperado ou média de y = h(x) é dado por Teo - Se x é uma variável aleatória discreta, o valor esperado é dado por onde M é o número de pontos da distribuição.

Distribuições Importantes Momentos Def. O n-ésimo momento de uma v.a. x tomado em torno de um valor a é: Def. O valor esperado ou média de uma v.a. x é: Def. A variância é o segundo momento tomado em torno da média: Teo. Def. Desvio padrão: Distribuições Importantes Distribuição Binomial A probabilidade de obter uma palavra de comprimento n contendo k bits 1 é onde p é a probabilidade de ocorrência do bit 1 Seja x = k, onde k = 0, 1, 2, ... n. A PDF binomial é

Distribuição de Poisson  Média da distri- buição binomial  Variância Distribuição de Poisson Seja  =  o número médio de ocorrências no intervalo [ 0,  ] onde  é a taxa média de ocorrência de eventos. A probabilidade de k ocorrências em um intervalo [ 0,  ] é t x(t), uma amostra do processo x(t)

Distribuição de Poisson (cont) f (x) P (u) 1/A x u mx A Distribuição Uniforme Distribuição Gaussiana

  y = h(x) y = h(x)  x = g(y) Distribuição Gaussiana Bidimensional (Bivariate) Se X e Y são não-correlacionadas,  = 0, então Se X e Y são v.a. gaussianas não-correlacionadas  X e Y são independentes Transformação Funcional N- dimensional (Multivariate) x1 y1 x2 y2   y = h(x) x y · · xN yN y = h(x)  x = g(y)

fdp’s Conjunta e Condicional

Transformação de Variáveis Aleatórias Distribuição Senoidal  Teo: Se , onde  tem distribuição uniforme, ou seja então a fdp para a senóide é Transformação de Variáveis Aleatórias Teo: Se y = h(x), onde h(·) é a característica de transferência de um dispositivo sem memória, então a PDF da saída é onde fx(x) é a fdp da entrada, x. M é o número de raízes reais de y = h(x). Isto é, há g1, g2, ... , gM funções inversas de h(·) para cada valor de y.

Estatística com Variáveis Múltiplas (Multivariate) Def: Uma fdp N-dimensional é Def: O valor esperado de y = h(x) é Estatística Conjunta (Bivariate) Def: A correlação ou média conjunta de duas v.a’s. x e y é Def: Duas v.a. x e y são não-correlacionadas se Def: Duas v.a. x e y são ortogonais se Teo: A fdp marginal de y, fy(y), dado fxy (x,y) é Def: A covariância entre as v.a. x e y é Def: O coeficiente de correlação entre as v.a. x e y é

Teorema do Limite Central

Processos Estocásticos  Def. Processo estocástico é um conjunto indexado de funções de algum parâmetro (tempo) que tem certas propriedades estatísticas. Processo Estocástico Digital

Comparação entre autocorrelações de dois processos, x(t) & y(t) Autocorrelação  Def. Função autocorrelação de um processo real x(t) é Comparação entre autocorrelações de dois processos, x(t) & y(t)

 Teo. Um processo estocástico pode ser descrito por um conjunto indexado de variáveis aleatórias. Exemplo: Suponha que uma fonte de ruído tenha uma distribuição gaussiana. Então quaisquer das variáveis serão descritas por Estacionaridade e Ergodicidade Diz-se que um processo aleatório x(t) é estacionário de ordem N se, para todo t1, t2, . . ., tN, onde  é uma constante real arbitrária e Def. Diz-se que um processo aleatório é ergódico se todas as médias temporais de qualquer função amostra são iguais às médias estatísticas correspondentes: Média  Analogamente Exemplo de processo ergódico: onde A e o são constantes e  é uma variável aleatória uniformemente distri- buída no intervalo (0,2).

Produto de funções de V.A.’s Correlação  A co-variância entre duas VAs, x e y, é uma medida simples de calcular e pode proporcionar informação útil sobre a dependência entre x e y.  Def. A covariância, XY é  Def. As VAs x e y são não-correlacionadas se Portanto, VAs não-correlacionadas são independentes. Entretanto, a recíproca nem sempre é verdadeira.  Exemplo: x = cos e y = sen , onde  é uniformemente distribuída no intervalo (0, 2). Obs. Em geral a independência entre duas V.A.’s é uma condição mais forte e restritiva do que o correlacionamento entre elas. Produto de funções de V.A.’s Seja a função de VAs, z(x,y) = u(x)v(y) então Se x e y são VAs independentes

Autocorrelação Processo Ergódico* Processo Ergódico: Def. Autocorrelação de um processo real x (t)  Processo estacionário: Processo Estacionário no Sentido Amplo (Wide-Sense or Weakly) Processo Ergódico* Média temporal Autocorrelação Processo Ergódico: * Aqui a função amostra x (t,i) é representada por x(t) por simplicidade

Transmissão de Processos Aleatórios Através de Sistemas Lineares PROCESSOS ALEATÓRIOS MÚLTIPLOS Correlação cruzada (crosscorrelation) entre dois processos estocásticos x e y Processos conjuntamente estacionários (jointly stationary) no sentido amplo Processos não-correlacionado (uncorrelated) Processos ortogonais ou incoerentes Processos independentes Densidade Espectral de Potência Cruzada (Cross-Power Spectral Density) Processos reais Transmissão de Processos Aleatórios Através de Sistemas Lineares H() h(t) x(t) y(t)

Exemplos EXEMPLO 1 : Mostre que o processo estocástico, onde  é um V.A. uniformemente distribuída no intervalo (0,2), é um processo estacionário no sentido amplo. EXEMPLO 2 : Obtenha a autocorrelação e a potência do ruído branco filtrado por um filtro ideal passa baixa de largura de banda B Hz. EXEMPLO 3 : Obter a PSD e o valor médio quadrático do processo do Exemplo 1

Exemplo 4 : Obter a autocorrelação, a PSD e a potência de um sinal AM DSB-SC Também, m ( t ) é estacionário no sentido amplo.