Matemática – 8° ANO D Prof.: ISRAEL AVEIRO www.isrrael.com.br Equação e Fatoração Matemática – 8° ANO D Prof.: ISRAEL AVEIRO www.isrrael.com.br

Definição Fatorar um polinômio é escrevê-lo em forma de um produto de dois ou mais fatores. Casos de fatoração: 1. Fator comum em evidência 2. Agrupamento 3. Trinômio quadrado perfeito 4. Diferença de dois quadrados

1.Fator Comum em Evidência Calcular a área do seguinte retângulo: a b c 5 A área desse retângulo é: 5a + 5b + 5c 5a 5b 5c (soma das áreas da figura) ou 5(a + b + c) (produto do comprimento pela largura) - Repare que 5 é o fator comum A todos os termos do polinômio 5a + 5b + 5c. - Na forma fatorada, 5 aparece com destaque. Dizemos que o fator comum 5 foi colocado em evidencia. Então: 5a + 5b + 5c = 5(a + b + c) Polinômio Forma fatorada do polinômio

1.Fator Comum em Evidência Observe este outro retângulo: x 2y 4x O polinômio que representa sua área é: 4x2 + 8xy 4x2 8xy 4 . x 4 . x . x 2 . . y Nesse caso, o fator comum a todos os termos do polinômio é 4x. Colocando 4x em evidência obtemos a forma fatorada do polinômio: 4x2 = x 4x 8xy = 2y 4x2 + 8xy = 4x(x + 2y)

1.Fator Comum em Evidência Vamos fatorar mais um polinômio como exemplo: Colocamos o fator comum 2a em evidência. 6a2 = 3a 2a 8a = 4 6a2 + 8a = 2a(3a + 4) 2 . 3 . a . a 4 . 2 . a Para conferir se a fatoração está correta, use a propriedade distributiva: 2a(3a + 4) = 6a2 + 8a (Voltamos ao polinômio original) a) XY é variável que aparece em todos os termos. Utilizamos a que possui o menor expoente. 3x2y : xy = 3x 6xy2 : xy = 6y - 2xy : xy = - 2. b) Dividir todos os termos pelo m.d.c. a) 3x2y + 6xy2 – 2xy = xy(3x + 6y – 2)

2. Agrupamento b(x + y) = xy2 + xy3 + 3 + 3y = xy2(1 + y) + 3(1 + y) = Observe o polinômio : ax + ay + bx + by Não há fator comum a todos os termos. No entanto podemos fazer: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y) (a + b) Fator comum Veja outro exemplo: xy2 + xy3 + 3 + 3y = xy2(1 + y) + 3(1 + y) = (1 + y) (xy2 + 3)

2. Agrupamento Exemplos: a) 5ax + bx + 5ay + by = x(5a + b) + y(5a + b) = (5a + b) (x + y) b) x2 + 3x + ax + 3a = x(x + 3) + a(x + 3) = (x + 3) (x + a) c) 3a2 + 3 + ba2 + b = 3(a2 + 1) + b(a2 + 1) = (a2 + 1) (3 + b)

3. Trinômio quadrado perfeito Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 O trinômio obtido nesse produto notável é chamado de trinômio quadrado perfeito. Por quê?

3. Trinômio quadrado perfeito Observe a seguir que: Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas. O termo do meio deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do meio. Exemplo 1: Cálculos auxiliares: a) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 √25 = 5 √x2 = x mesmo sinal 10x = 2 . x . 5 = 10x Conclusão: O trinômio é um quadrado perfeito

3. Trinômio quadrado perfeito Observe a seguir que: Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas. O termo do meio deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do meio. Exemplo 2: Cálculos auxiliares: a) 4a2 – 12a + 9 = (2a + 3)2 √4a2 = √9 = 2a 3 mesmo sinal 12a = 2 . (2a) . 3 = 12a Conclusão: O trinômio é um quadrado perfeito

3. Trinômio quadrado perfeito Observe a seguir que: Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas. O termo do meio deve ser o dobro do produto das raízes. Exemplo 3: Cálculos auxiliares: a) x2 + 3xy + y2 = √x2 = √y2 = y x 3xy = 2 . x . y = 2xy Conclusão: Não é um trinômio quadrado perfeito, pois 3xy 2xy.

4.Diferença de dois quadrados Vimos que (a + b) (a – b) = a2 – b2 Fazendo o caminho inverso, podemos fatorar uma diferença de quadrados: a2 – b2 = (a + b) (a – b) Da mesma forma, 4x + 3 5 4x – 3 5 16x2 – 9 = 25 x2 – y2 = (x + y) (x – y) 9a2 – 25 = (3a + 5) (3a – 5) p4 – 49r2 = (p2 + 7r) (p2 – 7r) (3a)2 (p2)2 (7r)2 52 Então: Basta determinar a raiz quadrada dos dois extremos.

4.Diferença de dois quadrados Para fatorar a expressão: 32a2 – 18 1° colocamos o fator comum: 2 em evidência ... e fatoramos. 32a2 – 18 = 2 (16a2 – 9) Aparece uma diferença de quadrados e a fatoração completa ficará assim: 32a2 – 18 = 2(4a – 3) (4a + 3)

Exercícios 1) Observe a figura e responda o que pede. X2 8X 64 A B C D a) Qual é a área do quadrado ABCD? R: Soma as quatro partes indicadas: x2 + 16x +25 b) Qual é a forma fatorada da área desse quadrado? R: (x + 8)2 c) Qual é a medida do lado desse quadrado? R: x + 8

Exercícios 2) Indique duas fórmulas para a área colorida do quadrado maior. 1) 2) (x – 6) 2 (x2 – 12x – 36) x 6

Exercícios 3) Determine a área da região colorida e dê o resultado na forma fatorada. Área = Fatorada = (a2 – 16) a 4 (a + 4) (a – 4)

Exercícios 4) Fatore as seguintes expressões: (Fatoração comum) a) 3x + 3y = b) 5x2 – 10x = c) 8ax3 – 4a2x2 = d) 6x2 – 4a = e) 4x5 – 7x2 = f) 5x – 5 = g) m7 – m3 = h) a3 + a6 = i) x50 + x51 = j) 8x6 – 12x3 = k) 15x3 – 21x2 = l) 14x2 + 42x = m) x2y + xy2 = n) 35ax – 42ay = o) 5a + 20x – 10 = p) 15x7 + 3ax4 = q) x7 + x8 + x9 = r) 6x2y + 12xy – 9xyz =

Exercícios 5) Fatore as seguintes expressões: (Fatoração Agrupamento) 6x + 6y + ax + ay = 7ax – 7a + ax – bx = m2 + mx + mb + bx = x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2 + 2x + 5x + 10 = x3 + x2 + x – 1 = X3 + 2x2 + xy + 2y = X3 – 5x2 + 4x – 20 = x(a + b) + y(a + b) = 2a(x – 1) – b(x – 1) = 7a – 7c + ma – mc = a3 + 3a2 + 2a + 6 = x3 – x2 + 5x – 5 = 5x + ax + 5y + ay = x3 + 2x2 + 7x + 14 = c2 – c + cx – x =

Exercícios 6) Coloque na forma fatorada as expressões: (Fatoração TQP) f) 25x2 + 60x + 36 = g) 49x2 – 14xy + y2 = h) 64x2 – 48x + 9 = i) x4 – 4x2 + 4 = j) m2n2 – 2mnp + p2 = a) x2 – 6x + 9 = b) a2 – 10a + 25 = c) m2 + 2mn + n2= d) x2 – 16x + 64 = e) a2 – 10a + 25 =

Exercícios 7) Coloque na forma fatorada as expressões: (Fatoração DDQ) a2c – c = x3 – 25x = 16a2 – 9x2y2 = 17x2 – 17y2 = 2m4 – 50 = j) 1x2 – 25 = 4 k) 4a2 – 25 = 9 49 l) m2 – 1 = 9 m) x4 – 9 =

FIM Obrigado pela atenção!