PRÉ-CÁLCULO Conjuntos numéricos – Naturais e Inteiros Profª Juliana Schivani docente.ifrn.edu.br/julianaschivani profjuliana.matematica@gmail.com
ℕ ∗ é o conjunto dos números naturais sem o zero. ℕ= 𝟎, 1, 2, 3, 4, … O zero surgiu de uma necessidade de representar espaços vazios entre dois números naturais. ℕ ∗ é o conjunto dos números naturais sem o zero.
ELEMENTO NEUTRO ℕ ℕ= 0, 1, 2, 3, 4, … Elemento neutro da adição a + 0 = a, ∀a, b ∈ ℕ da multiplicação a ∙ 1 = a, ∀a ∈ ℕ
Propriedades Fundamentais ℕ ℕ={0, 1, 2, 3, 4, …} Comutatividade: A ordem das parcelas não altera a soma. a + b = b + a, ∀a, b ∈ ℕ A ordem dos fatores não altera o produto. a ∙ b = b ∙ a, ∀a, b ∈ ℕ
Propriedades Fundamentais ℕ ℕ={0, 1, 2, 3, 4, …} Associatividade: O resultado da soma ou produto de três números independe da forma como estão associados. (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ ℕ (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c), ∀a, b, c ∈ ℕ
Relações de ordem ℕ
Relações de ordem ℕ Sejam a, b ∈ ℕ e se ∃𝑐∈ℕ|𝑎+𝑐=𝑏 ⇒ a < b ou b > a.
Potências e raízes ℕ 𝑎 𝑛 =𝑎 ∙𝑎 ∙ … ∙𝑎 expoente potência base
Potências ℕ 𝑎 𝑛 ∙ 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛 + 𝑚 𝑎 𝑛 ÷ 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛 − 𝑚 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑎 𝑚 ∙ 𝑛 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑎 𝑚 ∙ 𝑛 𝑎 −𝑛 = 1 𝑎 𝑛
Raízes ℕ Se 𝑎, 𝑏, 𝑛∈ℕ | 𝑎 𝑛 =𝑏 ⇒ 𝑎= 𝑛 𝑏
Potências e raízes ℕ (−2) 2 = 𝟐 𝑜𝑢 −𝟐?
ℤ ℤ= …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …
ℤ ℤ= …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ℤ ℤ= …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …
MÓDULO ℤ ℤ= …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … ELEMENTOS SIMÉTRICOS DE ℤ
3 + 5 = 8 horas para o leste (acréscimo) MÓDULO ℤ |-3| = 3 e |5| = 5 3 + 5 = 8 horas para o leste (acréscimo)
MÓDULO ℤ 𝑥 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥≥0 −𝑥, 𝑠𝑒 𝑥<0 𝑥 ≥0, ∀𝑥∈ℤ 𝑥 2 =| 𝑥 |
Potências e raízes ℕ (−2) 2 = −𝟐 =𝟐
EQUAÇÃO MODULAR 𝑥 =4
INEQUAÇÃO MODULAR 𝑥 <4
INEQUAÇÃO MODULAR 𝑥 >4
INEQUAÇÃO MODULAR
INEQUAÇÃO MODULAR
ℤ ℤ ∗ = …, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, … ℤ + = 0, 1, 2, 3, 4, … ℤ − = …, −4, −3, −2, −1, 0
ELEMENTO NEUTRO ℕ ℤ= …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … da adição a + 0 = a, ∀a, b ∈ℤ da multiplicação a ∙ 1 = a, ∀a ∈ℤ
Propriedades Fundamentais ℕ ℤ= …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ℤ (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c), ∀a, b, c ∈ℤ (a − b) − c ≠ a − (b − c), ∀a, b, c ∈ℤ Exemplo que não é associativa na subtração: a = -3, b = -4, c = -2.
Propriedades Fundamentais ℕ ℤ= …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … Comutatividade: a + b = b + a, ∀a, b ∈ℤ a ∙ b = b ∙ a, ∀a, b ∈ℤ a − b ≠ b − a, ∀a, b ∈ℤ a − b = a +(− b)
AVISOS de dúvidas PR VA
EXERCÍCIOS
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