MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Professor: João Lauro Sousa

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Definição: É toda equação de variável complexa, do tipo: 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2 +⋯+ 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 0 =0 𝑥∈ℂ ⟶ é 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑎 𝑛 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−2 , . . . , 𝑎 1 ⟶ 𝑠ã𝑜 𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎 0 ⟶ é 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑛 ⟶ é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜, 𝑠𝑒 𝑎 𝑛 ≠0

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Exemplos: a) 3 𝑥 2 −𝑥+8=0 ⟶ 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 2º 𝑔𝑟𝑎𝑢 b) 𝑥 3 −7 𝑥 2 +3𝑥−1=0 ⟶ 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 3º 𝑔𝑟𝑎𝑢 c) − 𝑥 4 +6 𝑥 2 −4=0 ⟶ 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑜 4º 𝑔𝑟𝑎𝑢 d) 𝑥 5 − 𝑥 3 − 𝑥 2 +𝑥=0 ⟶ 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑜 5º 𝑔𝑟𝑎𝑢

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Raízes Chama-se de raízes ou zeros os valores de x que satisfazem a equação, isto é, tornam a sentença verdadeira. Conjunto Solução É o conjunto formado por todas as raízes de uma equação. Exemplo: Sabendo que o número 2 é uma das raízes da equação algébrica 𝑥 3 −4 𝑥 2 +𝑥+6=0 , calcule as outras raízes e determine o seu conjunto solução.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Como temos a informação que uma das raízes da equação é igual a 2 , aplicando o dispositivo de Briot – Ruffini, reduzimos o grau da equação e calculamos as suas outras raízes. 𝑥 3 −4 𝑥 2 +𝑥+6=0 𝟐 𝟏 −𝟒 𝟏 𝟔 𝟏 −𝟐 −𝟑 𝟎 𝑥 2 −2𝑥−3=0 ⇒ 𝒙 ′ =𝟑 𝒆 𝒙"=−𝟏 𝑺= −𝟏 , 𝟐 , 𝟑

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Teorema Fundamental da Álgebra - TFA Toda equação algébrica de grau 𝑛 possui pelo menos uma raiz e no máximo 𝑛 raízes complexas (imaginárias ou reais). Teorema da Decomposição Toda equação algébrica de grau 𝑛 pode ser decomposta em 𝑛 fatores do 1º grau. Sejam 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , . . . , 𝑥 𝑛 são as 𝑛 raízes de uma equação, então essa equação pode ser escrita na forma: 𝒂 𝒏 𝒙− 𝒙 𝟏 𝒙− 𝒙 𝟐 𝒙− 𝒙 𝟑 . . . 𝒙− 𝒙 𝒏 =𝟎

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Exemplo Considere a equação 𝑥 3 −4 𝑥 2 +𝑥+6=0 cujas raízes são −1 , 2 𝑒 3. Portanto: 𝑥 1 =−1 , 𝑥 2 =2 𝑒 𝑥 3 =3. Forma fatorada da equação: 𝟏 𝒙+𝟏 𝒙−𝟐 𝒙−𝟑 =𝟎.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Multiplicidade Se um número é solução 𝑚 vezes de uma mesma equação, dizemos que ele é uma raiz de multiplicidade 𝑚 dessa equação. Denominações: Se a raiz tem multiplicidade 1 é chamada de raiz simples. Se a raiz tem multiplicidade 2 é chamada de raiz dupla. Se a raiz tem multiplicidade 3 é chamada de raiz tripla.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Teorema das Raízes Conjugadas Se o número complexo imaginário 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 é uma solução de uma equação algébrica, então o número complexo conjugado de 𝑧 , z =𝑎+𝑏𝑖 , também é raiz da mesma equação. Observações: 1. A quantidade de raízes complexas imaginárias de uma equação algébrica é um número par. 2. Se a quantidade de raízes de uma equação algébrica é um número ímpar, então ela possui pelo menos uma raiz complexa real.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Relações de Girard São as relações existentes entre os coeficientes reais de uma equação algébrica e as suas raízes. O número de relações é igual ao número de raízes, que é definido através do grau da equação. Observação Essas relações são de grande importância para a resolução e interpretação de situações que envolvem esses tipos de equações.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Relações de Girard Equação do 2º Grau: 𝑨 𝒙 𝟐 +𝑩𝒙+𝑪=𝟎 , 𝑐𝑜𝑚 𝐴≠0 Raízes: 𝑥 1 𝑒 𝑥 2 1ª Relação: Soma simples das raízes 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 =− 𝐁 𝐀 2ª Relação: Produto simples das raízes 𝒙 𝟏 . 𝒙 𝟐 = 𝐂 𝐀

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Relações de Girard Equação do 3º Grau: 𝑨 𝒙 𝟑 +𝑩 𝒙 𝟐 +𝑪𝒙+𝑫=𝟎 , 𝑐𝑜𝑚 𝐴≠0 Raízes: 𝑥 1 , 𝑥 2 𝑒 𝑥 3 1ª Relação: Soma simples das raízes 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 =− 𝐁 𝐀 2ª Relação: Soma dos produtos duplos das raízes 𝒙 𝟏 . 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟏 . 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 . 𝒙 𝟑 = 𝐂 𝐀 3ª Relação: Produto simples das raízes 𝒙 𝟏 . 𝒙 𝟐 . 𝒙 𝟑 = − 𝐃 𝐀

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Relações de Girard Equação de grau 𝑛: 𝑨 𝒏 𝒙 𝒏 + 𝑨 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 + . . . + 𝑨 𝟎 =𝟎 , 𝑐𝑜𝑚 𝐴 𝑛 ≠0 Raízes: 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , . . . , 𝑥 𝑛 1ª Relação: Soma simples das raízes 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + . . . + 𝒙 𝒏 =− 𝑨 𝒏−𝟏 𝑨 𝒏 Enésima Relação: Produto simples das raízes 𝒙 𝟏 . 𝒙 𝟐 . 𝒙 𝟑 . . . . 𝒙 𝒏 = −𝟏 𝒏 ∙ 𝑨 𝟎 𝑨 𝒏

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Fim