POLIEDROS COLÉGIO DECISIVO Matemática Professor Wilen GEOMETRIA ESPACIAL Professor Wilen 31/03/2017

Superfície Poliédrica Entendemos por superfície poliédrica a figura formada por polígonos planos consecutivos (possuem um lado comum) não-coplanares, de modo que cada lado seja comum a apenas dois polígonos.

Poliedros Poliedros são sólidos limitados por polígonos planos tais que cada um dos lados desses polígonos pertença a dois e somente dois deles.

Poliedros

Elementos dos poliedros

Poliedros Convexos & Poliedros Não-Convexos Quando o segmento de reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no poliedro ele é chamado de Poliedro Convexo, caso contrário ele será classificado como Poliedro Não-Convexo

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Teorema de Euler Em qualquer poliedro convexo a soma do número de vértices com o número de faces é igual ao número de arestas aumentado de duas unidades. V + F = A + 2

Teorema de Euler V = número de vértices F = número de faces A = número de arestas Teorema A soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo vale tantas vezes quatro ângulos retos quantos são os vértices, menos duas unidades. Si = 4r.(V – 2) ou Si = 360º(V – 2)

Teorema de Euler Cuidado!!!! n.F = 2 A O número arestas é igual a metade da soma do número de lados de todas as faces. (uma aresta pertence a duas faces distintas, exatamente duas) Si = 4r.(V – 2) ou Si = 360º(V – 2)

Exercícios Página 18

01 – Um poliedro convexo de 20 arestas tem o número de faces igual ao número de vértices. Calcular o número de faces e vértices Solução: A = 20 F = V V + F = A + 2 V + V = 20 + 2 2V = 22 V = 11 Como F = V, então: F = 11

02 – Calcular o número de faces de um poliedro convexo de 21 arestas, sabendo que a soma das medidas dos ângulos das faces é 3600º. Solução: Si = 360º.(V – 2) 3600 = 360 . (V – 2) 10 = V – 2 V = 12 V + F = A + 2 12 + F = 21 + 2 F = 23 – 12 F = 11

03 – A soma dos ângulos internos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcular o número de faces, sabendo-se que é 2/3 do número de arestas. Solução: Si = 360º.(V – 2) 720 = 360 . (V – 2) 2 = V – 2 V = 4 V + F = A + 2 4 + 2A/3 = A + 2 12 + 2A = 3A + 6 A = 6 F = 12/3 F = 4

Testes - 05 Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares, 1 face quadrangular, 7 faces pentagonais e 2 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é: Solução: - Encontrar o número de faces F = 15 + 1 + 7 + 2 F = 25 - Encontrar o número de arestas Aplicar a fórmula V + F = A + 2 V + 25 = 48 + 2 V = 25 1 x 4 = 4 15 x 3 = 45 7 x 5 = 35 45 + 4 + 35 + 12 = 96 Lembrete: n.f = 2A 96 = 2A A = 48 2 x 6 = 12

Para casa Páginas 18 e 19 Exercícios: 1 ao 12 http://pessoal.utfpr.edu.br/wilensilva