Semelhança não é coincidência

Você sabe o que é uma Matrioska? Para começar... Você sabe o que é uma Matrioska? http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriosca#/media/File:Russian-Matroshka2.jpg

Vídeo Baixar o vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=U7u89aL2aAk http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriosca#/media/File:Russian-Matroshka2.jpg

As matrioskas são bonecas russas tradicionais, feitas de madeira e com múltiplas figuras no seu interior. O conjunto é formado pela mesma boneca em tamanhos diferentes e que se encaixam umas dentro das outras. A origem delas é japonesa, mas as bonecas foram adaptadas e, atualmente, fazem parte da cultura russa. Elas transportam a ideia da maternidade e fertilidade O fato das bonecas menores saírem do interior das maiores simboliza o ato de uma mãe dar à luz uma filha, e a filha dar à luz outra filha, e assim sucessivamente. Além disso também sugere riqueza e vida eterna.

Ao observar essa imagem, conseguimos perceber que todas as matrioskas têm o mesmo formato, embora de tamanhos diferentes. http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriosca#/media/File:Russian.dolls.hugeset.arp.jpg

Cada matriosca é uma ampliação ou redução da outra. Dizemos, então, que elas são semelhantes umas às outras.

Figuras semelhantes Duas figuras são semelhantes quando seus ângulos são congruentes e as medidas dos seus lados são proporcionais. Em outras palavras, figuras semelhantes possuem mesma forma.

Os dois mapas de Alagoas possuem a mesma forma, mas têm tamanhos diferentes. O primeiro é uma ampliação do segundo ou o segundo é uma redução do primeiro.

Razão de semelhança É a razão entre os comprimentos de lados correspondentes de figuras semelhantes.

Analisando figuras Vamos analisar algumas figuras e identificar quais são semelhantes entre si.

Imagem 01

Imagem 02

Imagem 03

Triângulos semelhantes Dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos são congruentes e seus lados correspondentes são proporcionais.

Observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida e os lados correspondentes são proporcionais (a razão de semelhança é 2). Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes.

Para que estudar semelhanças ?

Baixe o vídeo disponibilizado no site abaixo: Matemática e Física Baixe o vídeo disponibilizado no site abaixo: www.youtube.com/watch?v=eB7NCwY-7Us

Voltando à história Para medir distâncias Baixe o vídeo completo: https://www.youtube.com/watch?v=cWkU6fGoYA8

Relação entre perímetro e área de figuras semelhantes A partir da observação de três figuras semelhantes, vamos estabelecer relações entre suas razões de semelhança, os perímetros e suas áreas.

Na figura seguinte, iremos considerar o lado de cada quadradinho como uma unidade. Assim, teremos:

De A para B De B para C De A para C Razão de semelhança Razão entre os perímetros Razão entre as áreas

Observando a primeira linha que preenchemos na tabela, correspondente à razão entre a medida dos perímetros, conclui-se que ela é igual à razão de semelhança. Já a razão entre a medida das áreas é o quadrado da razão de semelhança correspondente. Isso é válido para todos os polígonos semelhantes.

Atividades ... As pirâmides do Egito são construções que impressionam até hoje pela sua beleza, grandiosidade e complexidade arquitetônica. Por volta de 600 a.C., Tales de Mileto, um rico comerciante, usou um pequeno pedaço de madeira e luz solar para medir a altura de uma grande pirâmide.

Com as medidas das sombras da madeira e da pirâmide, calculou a altura daquele monumento com extrema eficiência. Como ele fez isso?

Compreenda... Ele fixou o pedaço de madeira no chão e mediu o seu tamanho, o tamanho de sua sombra e da sombra da pirâmide. Para efeito de cálculo, vamos supor que o bastão de madeira tivesse 1 metro, sua sombra 50 cm e a sombra da pirâmide 75 m. A figura a seguir ilustra a situação.

Tales observou que, como os ângulos formados pelos raios luminosos com a horizontal eram iguais nas duas situações, as medidas das sombras eram proporcionais às alturas do pedaço de madeira e da pirâmide. Sendo assim, determinou a altura da pirâmide através da proporção:

No ENEM (2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.  A distância, em metros, que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é 

1,16 metros B) 3,0 metros C) 5,4 metros D) 5,6 metros E) 7,04 metros

Resolução Com os dados do enunciado, podemos construir a seguinte figura:

Daí, temos:

(2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

Peça aos alunos para discutirem a resolução... Em duplas

(2006) Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

1,8m b) 1,9m c) 2,0m d) 2,1m e) 2,2m

Peça aos alunos para discutirem a resolução... Em duplas

A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm × 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm × 100 cm). O valor da segunda encomenda será:

o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. B) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. C) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. D) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. E) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.

Resolução coletiva Vamos calcular a área, a moldura e o preço total para cada tipo de quadro: 8 quadros (25 cm × 50 cm): área = 25 ⋅ 50 ⋅ 8 = 10000 cm2 = 1 m2 moldura = (50 ⋅ 2 + 25 ⋅ 2) ⋅ 8 = 1200 cm = 12 m custo = 20 ⋅ 1 + 15 ⋅ 12 + 10 = 210,00 reais

8 quadros (50 cm × 100 cm): área = 50 ⋅ 100 ⋅ 8 = 40000 cm2 = 4 m2 moldura = (50 ⋅ 2 + 100 ⋅ 2) ⋅ 8 = 2400 cm = 24 m custo = 20 ⋅ 4 + 15 ⋅ 24 + 10 = 450,00 reais Portanto, o valor da segunda encomenda é maior do que o da primeira, mas não o dobro. Resposta: B

Para finalizar Tales de Mileto já dizia: “A esperança é o único bem comum a todos os homens. Aqueles que nada mais têm ainda a possuem.”