Combinação simples

Combinação simples Tenho 5 amigos (A, B, C, D, E) e quero convidar 3 deles para a festa de meu aniversário. Quantas alternativas tenho? O meu problema é escolher apenas 3 dos 5 amigos. {A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E} {A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E} No total são 10 maneiras diferentes. ⇒ C5,3 = 10 Dizemos que cada um desses agrupamentos é uma combinação simples de 5 elementos, tomados 3 a 3.

Combinação simples Combinação simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), é cada agrupamento não-ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A. O número de combinações simples de n elementos, tomados p a p, é indicado por Cn,p.

Cálculo no total de Combinações simples O cálculo do número de combinações simples está relacionado ao cálculo do número de arranjos simples e de permutações simples. A formação de arranjos simples envolve duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa Resultado Formação das combinações simples Formação das permutações simples Formação dos arranjos simples An,p Cn,p . Pp = An,p ⇒ Cn,p = Pp

Exemplos A10,4 10.9.8.7 C10,4 = = = 210 P4 4.3.2.1 A12,3 12.11.10 C12,3 = = = 220 P3 3.2.1 An – 1,2 (n – 1).(n – 2) Cn – 1,2 = = P2 2

Exemplos Duas pessoas de um grupo de amigos serão escolhidas para cuidarem dos preparativos de uma festa. A escolha pode ser feita de 21 modos diferentes. Quantas pessoas há no grupo? An,2 Cn,2 = 21 ⇒ = 21 P2 n.(n – 1) ⇒ = 21 2 ⇒ n.(n – 1) = 42 ⇒ n = 7

Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: 5 pessoas? 7 pessoas, com exatamente 3 professores? 4 pessoas, com pelo menos 3 professores? 3 pessoas, com pelo menos 1 professor?

Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: a) 5 pessoas? A11,5 11.10.9.8.7 C11,5 = = = 462 P5 5.4.3.2.1

Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: b) 7 pessoas, com exatamente 3 professores? 1ª etapa 2ª etapa Escolher 4 alunos Escolher 3 professores C7,4 C4,3 7.6.5.4 4.3.2 C7,4 . C4,3 = . = 35 . 4 = 140 4.3.2.1 3.2.1

Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores? Temos 2 hipóteses: 1ª etapa 2ª etapa 1ª hipótese: Escolher 1 aluno Escolher 3 professores C7,1 C4,3 4.3.2 C7,1 . C4,3 = . 7 = 7 . 4 = 28 3.2.1

Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores? Temos 2 hipóteses: 2ª hipótese: Escolher 4 professores 4.3.2.1 C4,4 = = 1 4.3.2.1 Pelo princípio aditivo, 28 + 1 = 29 maneiras

Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: d) 3 pessoas, com pelo menos 1 professor? Total de comissões de 3 pessoas Total de comissões de 3 pessoas, só com alunos menos 11.10.9 7.6.5 C11,3 = = 165 C7,3 = = 35 3.2.1 3.2.1 165 – 35 = 130 maneiras.

Exemplos Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir? Veja a ilustração da situação. r s

Exemplos Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir? Total de triângulos. (2 pontos de r e 1 de s) ou (1 ponto de r e 2 de s) C5,2 . C6,1 C5,1 . C6,2 + 5.4 6.5 . 6 5 . 2.1 2.1 C5,2 . C6,1 + C5,1 . C6,2 = 60 + 75 = 135

Exemplos Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir? Total de quadriláteros é obtido escolhendo-se 4 pontos, sendo 2 de r e 2 de s. 5.4 6.5 C5,2 . C6,2 = . = 10. 15 = 150 2.1 2.1

Distinguindo permutações, arranjos e combinações simples

Arranjos, combinações ou permutações? Critério de formação Tipo de agrupamento Nome do agrupamento Só ordenar os elementos (todos) Ordenado Permutação Só escolher os elementos Não-ordenado Combinação Escolher e ordenar os escolhidos Ordenado Arranjo