Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com Aula 12 Séries
Séries Se tentarmos somar os termos de uma sequência infinita obteremos uma expressão da forma que é denominado uma série infinita (ou apenas série) e é denotada, por simplicidade pelo símbolo
Séries Mas faz sentido falar sobre a soma de uma quantidade infinita de termos?
Séries Seria impossível encontrar uma soma finita para a série porque, se começarmos adicionando os termos, obteremos as somas cumulativas e depois do -ésimo termo, que se torna muito grande à medida que aumenta.
Séries Contudo, se começarmos a somar os termos da série obteremos
Séries Podemos observar que quando adicionamos mais e mais termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais próximas de 1. Dessa forma, parece razoável dizer que a soma dessa séria infinita é 1 e escrever
Séries Dada uma série usamos uma idéia parecida para determinar se ela tem uma soma ou não.
Somas Parciais
Somas Parciais Essas somas parciais formam uma nova sequência que pode ou não ter limite. Se existir o chamaremos de soma da série infinita
Série Convergente Definição: Dada uma série Seja sua -ésima soma parcial: Se for convergente e então a série é dita convergente e caso contrário, a série é divergente.
Exemplo 1 Série geométrica Se então Como não existe, a série geométrica diverge nesse caso.
Série geométrica Se temos subtraindo essas equações, obtemos
Série geométrica Se então quando então Então, quando a série geométrica converge, e sua soma é
Série geométrica Se ou a sequência é divergente, assim não existe. Portanto, a série geométrica diverge naqueles casos.
Prova Geométrica Por semelhança de triângulos temos
Resumindo A série geométrica é convergente se e sua soma é Se a série geométrica divergente.
Exemplo 01 Encontre a soma da série geométrica Solução:
Graficamente
Exemplo 02 A série converge ou diverge? Solução: Diverge !
Exemplo 3 Escreva o número como fração de inteiros. Solução:
Exemplo 4 Encontre a soma da série onde Solução:
Exemplo 5 Mostre que a série é convergente e encontre sua soma. Solução:
Exemplo 5
Exemplo 6 Mostre que a série harmónica diverge.
Solução
Obrigado !