Triângulo retângulo – razões trigonométricas Módulo 4

Relacionando lados e ângulos A trigonometria tem sua origem, portanto, na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo. B a hipotenusa BC = a o cateto AC = b a o cateto AB = c c A = 90º C A b B + C = 90º

Relacionando lados e ângulos B  a a2 = b2 + c2 c ⍺ C A b cateto oposto a ⍺ c sen ⍺ = = hipotenusa a cateto adjacente a ⍺ b cos ⍺ = = hipotenusa a

Relacionando lados e ângulos B  a a2 = b2 + c2 c ⍺ C A b cateto oposto a ⍺ c tg ⍺ = = cateto adjacente a ⍺ b os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺.

Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B. A Teorema de Pitágoras 16 12 BC2 = AB2 + AC2 C B x2 = 162 + 122 20 x2 = 256 + 144 x2 = 400 x = 20

Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. A 16 12 C B 20 cateto oposto a B 12 3 sen B = = = = 0,6 hipotenusa 20 5 cateto adjac. a B 16 4 cos B = = = = 0,8 hipotenusa 20 5

Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. A 16 12 C B 20 cateto oposto a B 12 3 tg B = = = = 0,75 cateto adjac. a B 16 4

Exemplos Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm. y x + y = 90º 16 5 cm x ⇒ x ≈ 40º 6 cm 6 tg y = = 1,2 ⇒ y ≈ 50º 5

Outras razões trigonométricas

Outras razões trigonométricas B  a c ⍺ C A b hipotenusa 1 a cossec ⍺ = = = cateto oposto a ⍺ c sen ⍺ hipotenusa a 1 sec ⍺ = = = cateto adjacente a ⍺ b cos ⍺

Outras razões trigonométricas B  a c ⍺ C A b cateto adjacente a ⍺ b 1 cotg ⍺ = = = cateto oposto a ⍺ c tg ⍺

Seno, co-seno e tangente de ângulos complementares

Ângulos complementares B  ⍺ +  = 90º 5 ⇒ 3 Os ângulos ⍺ e  são complementares ⍺ C A 4 3 4 3 sen ⍺ = cos ⍺ = tg ⍺ = 5 5 4 4 3 4 sen  = cos  = tg  = 5 5 3

Ângulos complementares B  ⍺ +  = 90º a ⇒ c Os ângulos ⍺ e  são complementares ⍺ C A b 1 sen ⍺ = cos  cos ⍺ = sen  tg ⍺ = tg  sec ⍺ = cosec  cossec ⍺ = sec  cotg ⍺ = tg 

Exemplo No triângulo retângulo da figura, temos: √5 I. sen t = ½ II. sec t = 2 III. tg t = 2 1 cm t 2 cm A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são): a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III

Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.

Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º. ½ √2/2 √3/2 cos ½ √3/2 √2/2 tg 1 √3/3 √3

Exemplos A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y. 12 cm 16 x 30º y x sen 30º = ⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm 12 y cos 30º = ⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm 12

Exemplos Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z. C y x 60º 30º B A z D 2 cm

Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para: Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido. Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.

Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C b2 + c2 = a2 (: a2)  a b2 c2 a2 + = b a2 a2 a2 ⍺ b 2 c 2 B A + = 1 c a a 2 2 sen2 x + cos2 x = 1 sen ⍺ + cos ⍺ = 1 ⇒

Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C  a sen x tg x = b cos x ⍺ B A c sen ⍺ b/a b a b = = . = = tg ⍺ cos ⍺ c/a a c c

Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C  a cos x cotg x = b sen x ⍺ B A c cos ⍺ c/a c a c = = . = = cotg ⍺ sen ⍺ b/a a b b

Identidades trigonométricas - Resumo 1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental sen x 2) tg x = (cos x ≠ 0) cos x cos x 1 3) cotg x = = (sen x ≠ 0) sen x tg x 1 4) sec x = (cos x ≠ 0) cos x 1 5) cossec x = (sen x ≠ 0) sen x