Grandezas Físicas Prof. Climério Soares

Definição de grandeza: É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade

Tipos Grandezas escalares Grandezas Vetoriais

Grandezas Escalares São grandezas que se caracterizam apenas de um valor acompanhado uma unidade de medida. Exemplos: Massa Temperatura Tempo

Grandezas Vetoriais São grandezas que para serem definidas precisam de um módulo (valor + unidade de medida), direção e sentido. Exemplos: Velocidade Aceleração Força

Representação Gráfica Simbólica

Representação Gráfica Direção Direção A B Módulo Representa-se um vetor por um segmento de reta orientado. A origem e a extremidade do vetor pode ser representado por duas letras maiúsculas

Representação Simbólica Uma grandeza vetorial deve sempre ser representada, simbolicamente, por uma letra com uma seta em cima: Módulo do vetor V V = Módulo do vetor V Módulo do vetor de extremidades A e B

Comparação de Vetores Vetores iguais Vetores opostos Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo (valor, intensidade), mesma direção e mesmo sentido. Dois vetores são opostos quando possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.

Comparação de Vetores Exemplos: 2,5 u 4 u 4 u 2,5 u Vetores iguais Vetores opostos

Operações com Vetores Soma Diferença Multiplicação por escalar

Operações com Vetores Adição de Vetores Podemos somar vetores usando duas regras: Regra do Polígono Regra do Paralelogramo

Operações com Vetores Regra do Polígono É usada, principalmente, para somar sistemas com mais de dois vetores. Exemplo: No plano quadriculado a seguir temos três vetores e

Operações com Vetores Regra do Polígono Qual o módulo do vetor resultante da soma desses vetores?

Operações com Vetores Regra do Polígono Resolução: Inicialmente, devemos transladar os vetores, de modo que a origem de um coincida com a extremidade do outro, tomando cuidado para manter as características (módulo, direção e sentido) de cada vetor sem alteração. O vetor soma (resultante) será aquele que fecha o polígono, partindo da origem do primeiro vetor e chegando à extremidade do último vetor.

Operações com Vetores Regra do Polígono Observe que o vetor soma é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 u e 4 u. Aplicando, então, o Teorema de Pitágoras, temos: s = 5 u

Operações com Vetores Regra do Polígono Observação: Quando os segmentos orientados que representam os vetores formam um linha poligonal fechada (a extremidade do último segmento orientado coincide com a origem do primeiro), o vetor soma é chamado vetor nulo e é representado por O módulo do vetor nulo é zero

Operações com Vetores Regra do Paralelogramo: Essa regra é usada quando os vetores têm a mesma origem e formam um ângulo entre si. Para encontrar o vetor resultante, devemos: Tracejar retas paralelas aos dois vetores; O vetor soma (resultante) sai do ponto comum até encontrar o ponto de interseção das retas tracejadas.

Operações com Vetores Regra do paralelogramo Para encontrar o módulo do vetor soma (resultante), utilizamos a Lei do cossenos:

Operações com Vetores Regra do paralelogramo Exemplo: Dois vetores e , de mesma origem, formam entre si um ângulo , como mostra a figura a seguir. Se os módulos desses vetores são a = 7 u, e b = 8 u, qual o módulo do vetor soma?

Operações com Vetores Regra do paralelogramo Resolução: Usando a lei dos cossenos, temos: s² = 7² + 8² + 2 ∙ 7 ∙ 8 cos θ s² = 49 + 64 + 112∙ cos 60° s² = 169 s = 13 u

Operações com Vetores Casos particulares: A) Se o ângulo formado pelo vetores é θ = 0°, eles possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Sendo S o módulo do vetor soma, temos:

Operações com Vetores Casos particulares: B) Se θ = 90°, podemos calcular o módulo do vetor soma S utilizando o Teorema de Pitágoras:

Operações com Vetores Casos particulares: C) Se o ângulo formado pelos vetores é de 180°, eles possuem a mesma direção e sentidos opostos. O módulo do vetor S fica determinado por:

Operações com Vetores Subtração de Vetores Considere dois vetores e . A diferença entre esses dois vetores é dada por: Portanto para subtrair de , deve-se adicionar ao oposto de .

Operações com Vetores Subtração de Vetores Fig. 2 Fig. 1 Fig. 3

Operações com Vetores Subtração de Vetores Na figura 2, para obter o vetor diferença foi usado a regra do paralelogramo; No caso da figura 3, foi unida as origens de e e o vetor foi obtido apontando para o vetor que se lê primeiro na expressão , no caso o vetor .

Operações com Vetores O módulo do vetor diferença pode ser calculado como: Observação: A adição e a subtração de vetores são definidas de forma que podemos trabalhar com equações vetoriais da mesma maneira como é feita com equações com números reais, passando um termo de um lado para outro, trocando de sinal. Exemplo: é equivalente a

Operações com Vetores Exemplo: No plano quadriculado abaixo, estão representados dois vetores e . O módulo do vetor diferença vale: Usando o teorema de Pitágoras, a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u

Operações com Vetores Multiplicação de um número real por um vetor Chama-se multiplicação de um número real k por um vetor ao vetor: Tal que: módulo: (produto dos módulos) direção: a mesma de , se k ≠ 0. sentido: o mesmo de , se k > 0; oposto a se k < 0. Se k = 0,

Operações com Vetores Multiplicação de um número real por um vetor Exemplo:

Decomposição de um Vetor Qualquer vetor , em um plano, pode ser representado pela soma de dois outros vetores, chamados de componentes retangulares como:

Decomposição de um Vetor Para encontrarmos o módulo das componentes e , devemos usar as relações trigonométricas do triângulo retângulo:

Decomposição de um Vetor Exemplo: Um avião sobe com velocidade de 200 m/s e com 30° de inclinação em relação à horizontal conforme a figura. Determine as componentes da velocidade na horizontal (eixo x) e na vertical (eixo y). Dados: sen 30° = 0,5 e cos 30° ≈ 0,9.

Decomposição de um Vetor Resolução: Na figura abaixo são mostrados os vetores componentes e :

Decomposição de um Vetor Resolução (continuação): vx = v ∙ cos 30° ⇒ 200 ∙ 0,9 ⇒ vx = 180 m/s vy = v ∙ sen 30° ⇒ 200 ∙ 0,5 ⇒ vy = 100 m/s

Vetores unitários Um vetor cujo módulo é igual a 1, isto é, um vetor unitário, é chamado de versor. Um vetor qualquer pode ser escrito em termos de um vetor unitário. Em geral, o versor indica a direção horizontal e o sentido (para esquerda ou para a direita); o versor serve para indicar a direção vertical e o sentido (para cima ou para baixo). Exemplo: Dados os vetores no plano quadriculado a seguir, represente-os em termos dos vetores unitários e .

Vetores unitários