TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO PROFESSOR HENRIQUE

TRIGONOMETRIA Triângulo Retângulo b sen  = a c cos  = a b tg  =  Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. m b sen  = a c cos  = a b tg  =   = 30o c 12m

57 = x ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x y y tg 30o = AD = x DC= x - 38 BD = y x x – 38 y y tg 30o = x = 3(x – 38) tg 60o = x x – 38 x = 3x – 114 y y 114 = 2x = = x x – 38 57 = x (x – 38) (x – 38) = y = x

SENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMETRIA SENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

_ + + _ + + _ _ _ _ + + SENO E COSSENO E TANGENTE SENO COSSENO + 1 _ + + _ + + _ _ _ _ – 1 + + 1 + – 1 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen2x + cos2 x = 1

+ _ Sendo sen  = e , calcule: a) cos x b) tg x d) sec x e) cossec x sen2x + cos2 x = 1 e) cossec x SENO + _ COSSENO TANGENTE c) cotg x

Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. A medida em radianos de um arco de 225º é F  180o 225o  = x.180o 225o x 02. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2  m  3 V – 1  2m – 5  1 – 1 + 5  2m  1 + 5 4  2m  6 2  m  3

F P _ + _ + sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2 cossec 210o = - 2 04. Se sen x > 0, então cossec x < 0 F sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2 cossec 210o = - 2 sen 210o = - 1/2 08. Se tg 20º = a, o valor de V – a tg 160o = – tg 20o = tg 200o = tg 20o = a tg 340o = – tg 20o = – a 160o F P _ + 180o 360o _ + – 2 200o 340o

V sen2x + cos2 x = 1 sen2x = 1 – cos2 x cos2x = 1 – sen2 x 16. Para todo x  1o quadrante, a expressão (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x é igual a cos2x V (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x 1 – sen2 x cos2 x sen2x + cos2 x = 1 sen2x = 1 – cos2 x cos2x = 1 – sen2 x

+ + V 32. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0  x  2 é ou x = V 2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0  = b2 – 4ac  = 32 – 4.2.(-2) 150o 30o + +  = 25

cossec x = sen x = 9.(sec2 x + tg2 x) 41 sen2x + cos2 x = 1 ( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: sen2x + cos2 x = 1 cossec x = sen x = 9.(sec2 x + tg2 x) 41

TRIGONOMETRIA OPERAÇÃO COM ARCOS

Adição e Subtração de Arcos sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a cos (a  b) = cos a . cos b sen a . sen b sen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º sen 75º = sen 75º = cos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º cos 15º = cos 15º =

sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a cos (a  b) = cos a . cos b sen a . sen b O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é: cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b cos (10º + 35o) = cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos 45o = cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º = cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º

sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a cos (a  b) = cos a . cos b sen a . sen b sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x Seno e Cosseno do arco duplo sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x

sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x Sendo cos x = e , calcule sen 2x e cos 2x: Cálculo do sen x sen (2x) = 2sen x . cos x sen2x + cos2 x = 1 sen (2x) = sen (2x) = cos (2x) = cos2 x - sen2 x cos (2x) = cos (2x) =

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRÁFICOS TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRÁFICOS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO y = sen x DOMÍNIO: REAIS x 0o 90o 180o 270o 360o IMAGEM: [-1, 1] x CRESCENTE: 1º. e 4º. q sen x 0 + 1 0 - 1 0 DECRESCENTE: 2º. e 3º. q PERÍODO: 2

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO COSSENO y = cos x DOMÍNIO: REAIS x 0o 90o 180o 270o 360o IMAGEM: [-1, 1] x CRESCENTE: 3º. e 4º. q cos x +1 0 - 1 0 +1 DECRESCENTE: 1º. e 2º. q PERÍODO: 2

f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x FUNÇÕES DA FORMA: Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: a) y = 2 + sen x x 0o 90o 180o 270o 360o x sen x 0 + 1 0 - 1 0 2 + sen x 2 3 2 1 2 IMAGEM: [1, 3] PERÍODO: 2

f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x FUNÇÕES DA FORMA: Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: b) y = 3sen x x 0o 90o 180o 270o 360o x sen x 0 + 1 0 - 1 0 3sen x 0 3 0 -3 0 IMAGEM: [-3, 3] PERÍODO: 2

f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x FUNÇÕES DA FORMA: CONCLUSÕES: a  desloca o gráfico b  estica o gráfico Determinar a imagem da função f(x) = 2 + 3sen x Determinar a imagem da função f(x) = 5 + 2cos x f(x) = 2 + 3 sen x f(x) = 5 + 2 cos x f(x) = 2 + 3 (-1) = - 1 f(x) = 5 + 2 (-1) = 3 f(x) = 2 + 3 (1) = 5 f(x) = 5 + 2 (1) = 7 IMAGEM: [-1, 5] IMAGEM: [3, 7] IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b]

PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x FUNÇÕES DA FORMA: PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO Determinar o período da função f(x) = sen 2x Determinar o período da função f(x) = 3sen x/2

Determine o período da função f(x) = cos4x – sen4x é: Um pouquinho de matemática básica fórmulas do arco duplo sen 2x = 2sen x.cos x cos 2x = cos2 x – sen2 x (a + b)(a – b) = a2 – b2 (x + 3)(x – 3) = x2 – 9 (x + 5)(x – 5) = x2 – 25 (cos2x + sen2x )(cos2x – sen2x) = cos4x – sen4x (1)(cos2x) = cos4x – sen4x cos2x = cos4x – sen4x f(x) = cos4x – sen4x f(x) = cos 2x

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DOMÍNIO: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS {x  |x  + k} FUNÇÃO TANGENTE y = tg x IMAGEM: REAIS x 0o 90o 180o 270o 360o CRESCENTE: SEMPRE PERÍODO:  x O domínio da função f(x) = tg 2x é: tg x 0 não 0 não 0 existe existe