Matemática Aplicada I Integrais Prof. Dr. José Eduardo Holler Branco Piracicaba Junho/2015

Área abaixo da curva 𝑓 𝑥 =𝑒 𝑥 𝒆 𝟏 𝒇(𝒙) 𝑛=5 aresta direita 0,2 0,4 0,6 0,8 b = 1,0 𝒆 𝟎,𝟖 𝒆 𝟎,𝟔 𝒆 𝟎,𝟒 𝒆 𝟎,𝟐 𝒙 ∆𝒙⇒ ⇒ a=0,0 𝐴 𝑠 = 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 .∆𝒙 ∆𝒙= 𝒃−𝒂 𝒏 𝐴 𝑠 =1,8958

Área abaixo da curva 𝑓 𝑥 =𝑒 𝑥 𝒇(𝒙) 𝑛=5 aresta esquerda 𝒆 𝟎,𝟖 𝒆 𝟎,𝟔 0,2 0,4 0,6 0,8 b = 1,0 𝒆 𝟎,𝟒 𝒆 𝟎,𝟐 𝒆 𝟎 =𝟏 𝒙 a=0,0 ∆𝒙⇒ ⇒ 𝐴 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 .∆𝒙 ∆𝒙=( 𝒃−𝒂 𝒏 ) 𝐴 𝑖 =1,5522

Área abaixo da curva 𝑓 𝑥 =𝑒 𝑥 𝒇(𝒙) 𝑛=10 aresta direita 0,2 0,4 0,6 0,8 (b) 1,0 𝒙 (a) 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 𝐴 𝑠 = 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 .∆𝒙 ∆𝒙= 𝒃−𝒂 𝒏 𝐴 𝑠 =1,8056

Área abaixo da curva 𝑓 𝑥 =𝑒 𝑥 𝒇(𝒙) 𝑛=10 aresta esquerda 0,2 0,4 0,6 0,8 (b) 1,0 𝒙 (a) 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 𝐴 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 .∆𝒙 ∆𝒙= 𝒃−𝒂 𝒏 𝐴 𝑠 =1,6338

Integral Definida 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) = lim 𝑛→∞ 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 .∆𝒙 (Aresta Direita)   (Aresta Esquerda) 5 1,8958 > S 1,5522 10 1,8056 1,6338 20 1,7616 1,6757 40 1,7398 1,6969 100 1,7269 1,7097 500 1,7200 1,7166 1000 1,7191 1,7174 Proxy da área S abaixo da curva 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 no intervalo 0,1 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) = lim 𝑛→∞ 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 .∆𝒙 ∆𝒙= (𝒃−𝒂) 𝒏 e 𝒙 𝒊 =𝒂+𝑖.∆𝒙 Se 𝑓(𝑥) for integrável em 𝑎,𝑏

Integral Definida 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 à á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑦=𝑓 𝑥 , 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎,𝑏] Obs.: 𝑓 𝑥 >0,𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎,𝑏] 𝒇(𝒙) A a 𝒙 b

Integral Definida 𝒚= 𝒇(𝒙) + + a - b 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥= 𝐴 1 − 𝐴 2 𝒇(𝒙) 𝒙 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥= 𝐴 1 − 𝐴 2 𝐴 1 :Área da parte superior 𝑓 𝑥 >0 𝐴 2 :Área da parte inferior 𝑓 𝑥 <0

Teorema Fundamental do Cálculo Se 𝑓 for contínua em 𝑎,𝑏 , então a função 𝑔 é definida por: 𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎≤𝑥≤𝑏⇒ 𝑔 ′ 𝑥 =𝑓(𝑥) Se 𝑓 for contínua em 𝑎,𝑏 , então: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎) Onde 𝐹 é qualquer primitiva de 𝑓, isto é, uma função tal que 𝐹’ = 𝑓

Propriedades da Integral 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=− 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=0 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑𝑥=𝑐.(𝑏−𝑎) 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 ±𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥± 𝑎 𝑏 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =c 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 (Stewart, 2013)

Propriedades da Integral 𝑎 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+ 𝑐 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥= 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑠𝑒 𝑓 𝑥 ≥0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎≤𝑥≤𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥0 𝑠𝑒 𝑓 𝑥 ≥𝑔(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎≤𝑥≤𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒 𝑚≤𝑓 𝑥 ≤𝑀 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎≤𝑥≤𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 𝑚.(𝑏−𝑎)≤ 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤𝑀.(𝑏−𝑎) (Stewart, 2013)

Interpretação da Função Integral 𝑔 3 =𝑔 1 + 1 3 𝑓 𝑡 𝑑𝑡=4,3 y y y 2 2 2 1 1 1 + 1 2 3 4 5 t 1 2 3 4 5 -1 -1 t 1 2 3 - 4 5 -1 t -2 -2 -2 𝑔 1 = 0 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡=1 𝑔 5 =𝑔 3 + 3 5 𝑓 𝑡 𝑑𝑡=1,7 y 5 𝑔 4 3 2 1 1 2 3 4 5 (Stewart, 2013)

𝑆𝑒 𝑓𝑖𝑧𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑢= (1+ 𝑥 2 )⇒ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =2𝑥⇒𝑑𝑢=2𝑥 𝑑𝑥 Regra da Substituição 𝐴𝑐ℎ𝑒 𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 2𝑥 1+𝑥² 𝑑𝑥 𝑆𝑒 𝑓𝑖𝑧𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑢= (1+ 𝑥 2 )⇒ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =2𝑥⇒𝑑𝑢=2𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 1+𝑥² 𝑑𝑥= 1+𝑥² 2𝑥 𝑑𝑥= 𝑢 𝑑𝑢 2 3 𝑢 3 2 +𝐶= 2 3 (1+ 𝑥 2 ) 3 2 + C 𝑑 𝑑𝑥 2 3 1+ 𝑥 2 3 2 + C = 2 3 . 3 2 1+ 𝑥 2 1 2 .2𝑥=2𝑥 1+𝑥² (Stewart, 2013)

Regra da Substituição 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: 2𝑥+1 𝑑𝑥 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: 2𝑥+1 𝑑𝑥 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑢=2𝑥+1⇒ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =2⇒𝑑𝑢=2 𝑑𝑥⇒𝑑𝑥= 1 2 𝑑𝑢 2𝑥+1 𝑑𝑥 = 𝑢 . 1 2 𝑑𝑢 = 1 2 (𝑢) 1 2 . 𝑑𝑢= 1 2 . 2 3 . (𝑢) 3/2 +C= 1 3 2𝑥+1 3 2 +𝐶 𝑑 𝑑𝑥 1 3 2𝑥+1 3 2 + C = 1 3 . 3 2 2𝑥+1 1 2 .2= 2𝑥+1 (Stewart, 2013)

Regra da Substituição - Integrais Definidas 0 4 2𝑥+1 𝑑𝑥 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑢=2𝑥+1⇒ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =2⇒𝑑𝑢=2 𝑑𝑥⇒𝑑𝑥= 1 2 𝑑𝑢 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑢 :𝑠𝑒 𝑥=0⇒𝑢=1 𝑒 𝑠𝑒 𝑥=4⇒𝑢=9 0 4 2𝑥+1 𝑑𝑥= 1 9 1 2 𝑢 𝑑𝑢 = 1 2 . 2 3 . 𝑢 3 2 9 1 = 1 3 9 3 2 − 1 3 2 = 26 3 (Stewart, 2013)

Regra da Substituição Se 𝑢=𝑔 𝑥 for uma função derivável cuja imagem é um intervalo 𝐼 e f for contínua em 𝐼 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥= 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 𝐹 ′ 𝑔 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑔 𝑥 +𝐶, 𝑝𝑜𝑖𝑠: 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑔 𝑥 +𝐶= 𝐹 ′ 𝑔 𝑥 . 𝑔 ′ 𝑥 =𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔′(𝑥) (Stewart, 2013)

Regra da Substituição - Integrais Definidas Se 𝑔′ for contínua em 𝑎,𝑏 e 𝑓 for contínua na imagem de u=𝑔(𝑥), então: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥= 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 (Stewart, 2013)