Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Luso – Setembro de 2006Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de Serpa INTEGRAL CALIBRADO Integral de Riemann Generalizado Integral de Henstock-Kurzweil

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Definições de INTEGRAL Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral Impróprio de Riemann Integral Calibrado Ralph Henstock (1955) Jaroslav Kurzweil (1957)

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Definições de INTEGRAL Integral Calibrado Integral de Riemann Integral Impróprio de Riemann Integral de Lebesgue

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian A definição de Integral de Riemann Sejam f: [a,b] R uma função e V R. V é o integral de Riemann de f e escreve-se V= se, para cada Ɛ > 0, Ǝ δ > 0, tal que: n N e os números t 0, t 1, t 2,…, t n e s 1, s 2,…, s n, satisfazendo a = t 0 s 1 t 1 s 2 t 2 … t n-1 s n t n = b e t i - t i-1 < δ, para todo o i, então

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian A definição de Integral Calibrado Sejam f: [a,b] R uma função e V R. V é o integral calibrado de f e escreve-se V= se, para cada Ɛ > 0, Ǝ δ: [a,b] (0,+): n N e os números t 0, t 1, t 2,…, t n e s 1, s 2,…, s n, satisfazendo a = t 0 s 1 t 1 s 2 t 2 … t n-1 s n t n = b e t i - t i-1 < δ(s i ), para todo o i, então

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian O que há de novo? --- δ --- Integral de Riemann δ é uma constante positiva Integral Calibrado δ é uma função positiva, chamada calibre

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Temos: Dado Ɛ > 0, seja e para s > 0, δ(s) > 0 é tal que: Exemplo com Integral Calibrado Demonstração: Seja f uma função tal que: Com a definição integral calibrado, temos:

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Logo,, pelo que concluímos que existe uma função δ, nas condições exigidas para mostrarmos que Concretizando, podemos considerar a função:, que satisfaz as condições. Exemplo com Integral Calibrado

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Exemplo com Integral Calibrado

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Temos então um calibre δ sobre [a,b]. Seja para cada 1 j m, x j – δ(x j ) a j -1 x j a j x j + δ(x j ) Demonstração: Fixado Ɛ > 0. Para cada x [a,b], como F(x) = f(x), Ǝ δ(x) > 0, tal que, para cada u [a,b] [x –δ(x),x +δ(x)], temos: Sejam F:[a,b] R, uma função diferenciável e f a sua derivada: F(x) = f(x), para cada x [a,b]. Então, f é integrável em [a,b] e tem-se: Teorema Fundamental do Cálculo

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema Fundamental do Cálculo

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema Fundamental do Cálculo

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema da Convergência Monótona Sejam f : I R uma função e f k : I R, k N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições: 1. A sucessão (f k ) k converge pontualmente para f 2. A sucessão (f k ) k é monótona 3. Cada função f k é integrável 4. A sucessão real ( I f k ) k tem limite finito Então f é integrável em I e I f = lim I f k K Este Teorema não é aplicável ao Integral de Riemann

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema da Convergência Monótona Corolário Sejam f : I R uma função e f k : I R, k N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições: 1. A série Σ k f k converge pontualmente para f 2. Para cada k N e cada x I, temos f k (x) 0 3. Cada função f k é integrável 4. A série Σ k ( I f k ) k converge Então f é integrável em I e

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Este Teorema não é aplicável ao Integral de Riemann Lema: Sejam f 1, f 2, …, f n : I R funções integráveis Se existe uma função integrável g: I R tal que, para cada x I e 1 k n tem-se: g(x) f k (x), então também são integráveis: min {f 1, f 2, …, f n } e max {f 1, f 2, …, f n } Teorema da Convergência Dominada

Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema da Convergência Dominada Sejam f : I R uma função e f k : I R, k N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições: 1. A sucessão (f k ) k converge pontualmente para f 2. Cada função f k é integrável 3. Existem duas funções g, h : I R tal que g(x) f k (x) h(x), para cada k I Então a sucessão ( I f k ) k tem limite finito, f é integrável em I e