2ª Aula Modelação da dinâmica de populações. Crescimento e decaimento de 1ª ordem. Equação da logística.

O que é um modelo? Os modelos matemáticos melhoram com a idade..... BEST – IST, 2006

Princípio de conservação Taxa de acumulação num volume de controlo = Ao que entra menos o que sai + O que se produz menos o que se destrói

Volume isolado Se β for uma concentração uniforme no volume: Escrevendo fontes/poços por unidade de volume:

Dinâmica de populações (n=0) => decaimento/crescimento de ordem zero (evolução linear) (n=1) => 1ª ordem (exponencial) …….. c0 c t K>0 K<0 No caso de (n=1) => 1ª ordem: A solução analítica é: No caso de (n=1) => 1ª ordem: K >0 implica crescimento exponencial K<0 decaimento assimptótico para zero.

Decaimento de 1ª ordem Normalmente admite-se que: Como calcular o k? A mortalidade bacteriana fecal tem decaimento de 1ª ordem, quantificado pelo T90, Os pesticidas têm decaimento de 1ª ordem, quantificado pelo tempo de “semi-vida”. Como calcular o k? => => T90=1 hora => k=-6.4E-4/s. No caso do tempo de semi-vida seria idêntico com ln(0.5)

Solução “Logística” A solução designada por “Logística admite que o crescimento exponencial não é sustentável. Admitindo que há uma população máxima. K deverá ser variável. Cmax C0 c t

Solução Numérica (explícito) Discretizando a derivada temporal obtém-se: Se usarmos um método explicito vem:

Comparação numérico e analítico Ver folha Excel “dinâmica de populações”

Solução Numérica (explícito) Se usarmos um método explicito vem: Se k<o então o parênteses pode ser negativo se o intervalo de tempo for elevado. Nesse caso a nova concentração ficaria negativa e o método ficaria instável. A condição de estabilidade é: Nesta passagem o sinal da desigualdade troca quando de divide por k<0

Solução Numérica (implícito) Se usarmos um método implícito a equação fica: Neste caso o método pode instabilizar no caso de k>0:

Critérios de estabilidade Quando temos mortalidade, se o método for explícito o número de indivíduos que morre é função do valor que tínhamos no início do passo de tempo. Isso implica que o valor seja calculado por excesso. Se o passo no tempo for demasiado grande poderemos eliminar mais indivíduos do que os existentes e ficamos com um valor negativo (o mesmo se pode dizer para a concentração). Quando temos natalidade o problema coloca-se com o método implícito porque fisicamente o número de filhos é proporcionalmente ao número de pais e por isso o cálculo deve de ser explícito. O cálculo implícito seria equivalente a dizer que “os filhos já nasceriam trazendo filhos ao colo”.

Generalizando poderemos dizer que: As fontes devem de ser calculadas explicitamente e os poços implicitamente. Se isso for possível evitam-se instabilidades no modelo. Se o modelo for estável qual deve de ser o passo temporal? O menor possível para que a solução numérica não se afaste da solução analítica. x c0 c t K>0 K<0 implícito explícito

Considerações Finais Os modelos baseados em decaimentos de primeira ordem podem ser realistas para propriedades que não se produzem no meio ambiente. Os modelos baseados em crescimentos de primeira ordem são pouco realistas. A equação da logística pode dar-lhes algum realismo. O ideal é os modelos reproduzirem os processos de produção e de decaimento. O modelo de Lotka-Volterra é o mais simples que tenta atingir este objectivo.

Modelo Presa-Predador (Lotka-Volterra) Na equação: Só a logística é que limita o crescimento. Na realidade aparece sempre um predador que cresce com a presa. Equações de Lotka-Volterra

Problemas do modelo de Lotka Volterra Não conserva a massa. A Natureza precisa de pelo menos 3 variáveis de estado: Nota: As derivadas passaram a totais para descrever o caso de o fluido estar em movimento. Poderá kp ser constante? Será razoável que a presa consuma detritos? Precisamos de mais variáveis...

Forma geral das Equações Nestas equações adicionamos o transporte difusivo.