Desenvolvimento do Raciocínio em Geometria TEORIA DE VAN HIELE Desenvolvimento do Raciocínio em Geometria

IDÉIAS DO MODELO Os alunos progridem segundo uma seqüência de níveis de compreensão dos conceitos. Progresso de um nível para o seguinte ocorre através de VIVÊNCIA DE ATIVIDADES ADEQUADAS E ORDENADAS.

IDÉIAS DO MODELO (CONTINUAÇÃO) Elevação dos níveis depende mais de APRENDIZAGEM ADEQUADA do que de idade e maturação. Cada nível é caracterizado por: Relações entre os objetos de estudo. Linguagem própria.

CARACTERÍSTICAS DOS NÍVEIS NÍVEL 0 OU 1º NÍVEL RECONHECIMENTO VISUALIZAÇÃO Comparação e Nomenclatura das Figuras Geométricas por sua aparência global não por suas partes ou propriedades. EXEMPLO Classificação de recortes de quadriláteros em grupos de: Quadrados Retângulos Paralelogramos Losangos Trapézios.

NÍVEL 1 OU 2º NÍVEL ANÁLISE EXEMPLO Análise das figuras em termos de seus componentes. Reconhecimento de suas propriedades. Uso dessas propriedades para resolver problemas. EXEMPLO Descrição de um quadrado através de propriedades: 4 lados iguais. 4 ângulos retos. Lados opostos iguais e paralelos.

NÍVEL 2 OU 3º NÍVEL DEDUÇÃO INFORMAL ABSTRAÇÃO EXEMPLO Alunos conseguem estabelecer inter-relações de propriedades de figuras e entre figuras. Alunos são capazes de deduzir propriedades de uma figura e reconhecer classes de figuras. A inclusão de classes é compreendida. EXEMPLO Num quadrilátero, se os lados opostos são paralelos, então necessariamente os ângulos opostos são iguais. Um quadrado é um retângulo porque possui todas as propriedades de um retângulo.

NÍVEL 2 OU 3º NÍVEL (CONTINUAÇÃO) Percepção da necessidade de uma definição precisa e de que uma propriedades pode decorrer de outra. Os alunos acompanham e formulam argumentos informais. Não compreendem o significado da dedução como um todo ou o papel dos axiomas. Resultados obtidos empiricamente são usados em conjunto com técnicas de dedução. São capazes de acompanhar provas formais, mas não de alterar a ordem lógica da demonstração. EXEMPLO Descrição de um quadrado através de suas propriedades mínimas: 4 lados iguais. 4 ângulos retos.

NÍVEL 3 OU 4º NÍVEL DEDUÇÃO EXEMPLO Domínio do processo dedutivo e das demonstrações. Reconhecimento de condições necessárias e suficientes. Dedução como uma maneira de estabelecer a teoria geométrica no contexto de um sistema axiomático. EXEMPLO Demonstração de propriedades de triângulos e quadriláteros usando a congruência de triângulos.

NÍVEL 3 OU 4º NÍVEL (CONTINUAÇÃO) O aluno é capaz de construir demonstrações e não apenas memorizá-las. Ele enxerga a possibilidade de desenvolver uma demonstração de mais de uma maneira. Faz distinção entre uma afirmação e sua recíproca. Compreende a interação das condições necessárias e suficientes. Compreende a inter-relação e o papel de termos não definidos, axiomas, postulados, definições, teoremas e demonstrações. EXEMPLO A geometria euclidiana como apresentada nos cursos de graduação em Matemática. Fundamentos de Geometria Plana. Fundamentos de Geometria Espacial.

NÍVEL 4 OU 5º NÍVEL RIGOR EXEMPLO Geometrias não- euclidianas. Capacidade de compreender demonstrações formais. Estabelecimento de teoremas em diversos sistemas e comparação dos mesmos. EXEMPLO Geometrias não- euclidianas. Estabelecimento e Demonstração de teoremas em uma geometria finita.

PROPRIEDADES DO MODELO SEQÜENCIAL O aluno deve necessariamente passar pelos vários níveis, sucessivamente. O sucesso em um nível pressupõe a assimilação das estratégias dos níveis anteriores.

PROPRIEDADES DO MODELO (CONTINUAÇÃO) AVANÇO Progressão (ou não) de um nível para outro depende mais do conteúdo e dos métodos de instrução recebidos do que da idade.

PROPRIEDADES DO MODELO (Continuação) INTRÍNSECO E EXTRÍNSECO Os objetos inerentes a um nível tornam-se os objetos do ensino no nível seguinte Nível 0 – Percebe-se apenas a forma da figura. Entretanto, a figura é determinada por suas propriedades Nível 1 – Figura é analisa e seus componentes e propriedades são descobertos.

PROPRIEDADES DO MODELO (CONTINUAÇÃO) LINGÜÍSTICA Cada nível tem seus próprios símbolos e seus próprios sistemas de relações que ligam esses símbolos. “Correto” – muda de significado conforme o nível. Níveis 0 e 1: quadrado pode ser diferente de retângulo. Nível 2 : O quadrado é retângulo.

PROPRIEDADES DO MODELO (CONTINUAÇÃO) COMBINAÇÃO INADEQUADA Aluno em um nível e o curso em outro nível: Aprendizado e Progresso podem não ocorrer. Professor, material didático, conteúdo, vocabulário em um nível mais alto do que o aluno: Aluno não será capaz de acompanhar os processos de pensamento que estão sendo empregados.

FASES DO APRENDIZADO Progresso ao longo dos níveis depende mais da instrução recebida do que da idade ou da maturidade. MÉTODO, ORGANIZAÇÃO DO CURSO, CONTEÚDO E MATERIAL USADO SÃO FUNDAMENTAIS. Os Van Hiele propõem 5 fases seqüenciais de aprendizado.

FASE 1: INTERROGAÇÃO/INFORMAÇÃO Professor e Alunos conversam e desenvolvem atividades envolvendo os objetos de estudo do respectivo nível. EXEMPLO: ATIVIDADES COM LOSANGO, NÍVEL 2. O que é um losango? O que é um quadrado? O que é um paralelogramo? O que eles têm de semelhante? E de diferente? Um quadrado é um losango? Um losango é um quadrado? Objetivos: Conhecimento prévio dos alunos. Mostrar aos alunos a direção dos estudos.

FASE 2: ORIENTAÇÃO DIRIGIDA Exploração do conteúdo através do material organizado pelo professor. Pequenas tarefas com o objetivo de suscitar respostas específicas. EXEMPLO: ATIVIDADES COM O GEOPLANO. Construir um losango de diagonais iguais. Construir um maior e outro menor. Construir um losango com 4 ângulos retos. Construir um losango com 3 ângulos retos. Construir um losango com 2 ângulos retos. Construir um losango com 1 ângulo reto.

FASE 3: EXPLICAÇÃO Baseando-se nas experiências anteriores, os alunos expressam e trocam suas visões sobre o que observaram. Papel do Professor: Orientar os alunos no uso de uma linguagem precisa e adequada. É nessa fase que o sistema de relações de níveis fica evidente. EXEMPLO: ATIVIDADE COM LOSANGOS (CONTINUAÇÃO) Quais as figuras e as propriedades que emergiram das atividades precedentes?

FASE 4: ORIENTAÇÃO LIVRE Tarefas mais complexas: Tarefas com muitos passos. Tarefas que podem ser concluídas de diversas maneiras. Tarefas de final aberto. EXEMPLO: Dobre uma folha de papel ao meio, e depois outra vez ao meio. Tente imaginar que tipo de figura você obteria se cortasse o canto formado pelas dobras. Justifique a sua reposta antes de efetuar o corte. Que tipo(s) de figuras você obterá se cortar o canto segundo um ângulo de 30º ?E de 45º? Descreva os ângulos no ponto de interseção das diagonais. O ponto de interseção está em que ponto das diagonais? Porque a área do losango é dada com a metade do produto das 2 diagonais?

FASE 5: INTEGRAÇÃO Os alunos revêem e sumarizam o que aprenderam com o objetivo de formar uma visão geral da nova rede de objetos e relações. O professor pode auxiliar nessa síntese “fornecendo apanhados globais” do que os alunos aprenderam. É importante que esses sumários não apresentem nada de novo. EXEMPLO: As propriedades do losango que emergiram seriam sumarizadas e suas origens revistas.