ESPAÇO VETORIAL DE MATRIZES POLINÔMIOS

MATRIZES Sejam, por exemplo, as matrizes: 3 1 2 2 4 0 1 1 3 0 1 2 5 6 3 1 2 2 4 0 1 1 3 0 1 2 5 6 M1 = M2 = M3 = M4 = Para escrever a matriz na base acima, tem-se: a b c d M = XM1 + YM2 + ZM3 + WM4 = M Isto resultará no sistema: 3X + 4Y + 2Z + 1W = a 1X + 0Y + 2Z + 2W = b 2X + 1Y + 3Z + 5W = c 2X + 1Y + 0Z + 6W = d Que equivale à equação matricial 3 4 2 1 1 0 2 2 2 1 3 5 2 1 0 6 X Y Z W a b c d x = Cada matriz se transforma no vetor (a11, a12, a21, a22) que, na equação matricial, se escreve em colunas.

POLINÔMIOS Cada base de um espaço vetorial de polinômios de grau “n” é formada por n + 1 polinômios. Por exemplo: Para polinômios de grau 3, pode ser tomada como base o conjunto: {v1 = 2t3 + t; v2 = t2 + 2t – 1; v3 = t + 2; v4 = 5} formado por 3 + 1 = 4 polinômios. Alem disso, pelo menos em um dos vetores, deve figurar um dos graus 3, 2, 1, 0. A forma geral dos vetores de grau 3 é P3 = at3 + bt2 + ct + d Para escrever o polinômio P3 na base do exemplo, tem-se: Xv1 + Yv2 + Zv3 + Wv4 = P3

Base {v1 = 2t3 + t; v2 = t2 + 2t – 1; v3 = t + 2; v4 = 5} Polinômios P3 = at3 + bt2 + ct + d Equação: Xv1 + Yv2 + Zv3 + Wv4 = P3 X.(2t3 + 0t2 + 1t + 0) + Y.(0t3 + 1t2 + 2t – 1) + Z.(0t3 + 0t2 + 1t + 2) + W.(0t3 + 0t2 + 0t + 5) = = at3 + bt2 + ct + d 2X + 0Y + 0Z + 0W = a 0X + 1Y + 0Z + 0W = b 1X + 2Y + 1Z + 0W = c 0X – 1Y + 2Z + 5W = d 2 0 0 0 X a 0 1 0 0 Y b 1 2 1 0 Z c 0 -1 2 5 W d x = Os polinômios podem ser escritos na forma de vetores (, , , ) cujas coordenadas são os coeficientes dos polinômios. Na matriz esses vetores são representados em colunas.

EXERCÍCIOS 1 – Quais são as bases canônicas dos espaços vetoriais abaixo sobre o corpo dos reais (Pn – polinômio de grau n; Mn – matrizes de ordem n)? (a) P2 (b) P3 (c) P4 (d) M2 (e) M3 (f) M4 2 - Sejam A = {a1 = 2, a2 = x + 1, a3 = x2 + 2}, B = {b1 = 4, b2 =2x – 1, b3 = x2 – x + 1} e C = {c1 =1, c2 = x, c3 = x2}, bases do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois. a) Transforme P(x)C = 4x2 – 2x + 7 para as bases B e A. b) Transforme P(x)A = 5a32 + 3a2 + 2a1 para as bases B e C. c) Escreva as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B 3 – Escreva um conjunto de matrizes quadradas de ordem 2 que seja uma base para o espaço M2. Verifique se esse conjunto é mesmo uma base.

3 - Sejam os conjuntos:  =  = 3 1 2 2 4 0 1 1 3 0 1 2 5 6 M1 = , , , 3 1 2 2 4 0 1 1 3 0 1 2 5 6 M1 = , , , M2 = M3 = M4 = 2 3 4 5 1 4 5 1 2 6 M’1 = , , , M’2 = M’3 = M’4 =  =  = (a) Escreva a matriz nas bases  e . -12 5 9 (b) Determine a matriz que transforma a base  na base . (c) Prove que  é uma base. (d) Se M = é uma matriz escrita na base , escreva-a na 7 1 6 2  base .

F I M