Funções Trigonométricas Professora Ursula Timm

- sentido negativo + sentido positivo Conhecendo a Circunferência Trigonométrica y 1 + sentido positivo 2º quadrante 1º quadrante -1 1 x 3º quadrante - sentido negativo 4º quadrante -1

Círculo em graus (360°) Círculo em radianos (2) x y   90°   120° 60° 135°   45°   150° 30°  180° 0° 360° 2 210° 330° 225° 315° 240° 300°   270°

y 90° 60° 45° 30° 0° x -30° -45° -60° -90°

Sen Queremos saber o seno e o cosseno deste arco de 30°. Observe as projeções. 30° Seno de 30°, = 0,5, ou 1/2. Cos Cosseno de 30° = 0,86602540378...

Para saber o seno e o cosseno de 150°, pense: quanto falta para 180°? A projeção vertical, ou seja, o seno de 150° tem o mesmo valor do seno de 30°. 30° 180 – 150 = 30° Podemos então “reduzir” 150° para 30° O cosseno de 150° tem o mesmo valor do cosseno de 30°, porém com sinal contrário (é negativo), valendo então -0,87 ou Cosseno de 30° =0,87 ou

Estes arcos azuis são opostos pelo vértice Estes arcos azuis são opostos pelo vértice. Sendo congruentes, suas projeções também tem o mesmo valor. Seno de 60° = 0,87 60° Cos 240° = -cos 60° = - 0,5 Cos 60° = 0,5 Seno de 240° = -seno de 60° = - 0,87 240° = 180° + 60° 240°

Função Seno D = ℝ Im = [–1, 1] 90° = π / 2 1 360° 45° 90° 180° 270° 180° = π 2π π / 4 π / 2 π 3π/2 2π 270° = 3π / 2 -1 D = ℝ Im = [–1, 1]

90° = π / 4 360° 2π 270° = 3π / 2 360° 720° 2π 4π

** Construir o gráfico da função y = 2 sen x:  –2 2 y = 2 sen x –1 1 sen x 2 3/2 /2 x y y = sen x y = 2sen x 2 1 p = 2 p = 2 3/2 x /2  2 Im = [–1, 1] Im = [–2, 2] –1 –2

** Construir o gráfico da função y = 1 + sen x:  2 y = 1 + sen x –1 sen x 2 3/2 /2 x y y = sen x y = 1 + sen x 2 1 p = 2 p = 2 x /2  3/2 2 Im = [–1, 1] Im = [0, 2] –1 –2

** Construir o gráfico da função y = sen 2x: /2  –1 1 y = sen 2x 3/4 /4 x 2 3/2 2x y = sen x 1 3/4  3/2 2 x /4 /2 –1

Função cosseno D = ℝ Im=[-1,1] P = 2 y /2 1   /2 3/2 2 x -1  /2 3/2 2 x -1 3/2 2 D = ℝ Im=[-1,1] P = 2

Este é o arco cuja tangente queremos medir Traçamos uma reta desde a origem dos eixos, passando pela extremidade do arco, até a reta tangente... Eis então que surge a representação da tangente do ângulo considerado! Este é o arco cuja tangente queremos medir Observe esta reta, que é tangente ao círculo trigonométrico, ou seja, toca o círculo em um ponto apenas.

Aumente o arco, para ver o que acontece com sua tangente... Imagine agora o valor da tangente para ângulos maiores ainda. Pergunta: há um ângulo que terá um valor absurdo de tangente. Que ângulo é esse?

Neste caso, é preciso traçar uma reta desde a extremidade do arco até a reta tangente, passando pela origem. Se o arco tem mais que 90° e menos que 180°...

Função Tangente Im = ℝ 𝑫= 𝒙∈ℝ/𝒙≠ 𝝅 𝟐 +𝒌.𝝅,𝒌∈ℤ x /2  3/2 2 y = tg x /2  3/2 2 y = tg x ∄ ∄ y = tg x  x /2 3/2 2 𝑫= 𝒙∈ℝ/𝒙≠ 𝝅 𝟐 +𝒌.𝝅,𝒌∈ℤ Im = ℝ

* Na figura abaixo, temos quatro períodos completos da tangentóide. y = tg x –/2 x –2 –3/2 – /2  3/2 2

Função Cossecante 𝑫={𝒙∈ℝ/𝒙≠𝒌.𝝅,𝒌∈ℤ} 𝑰𝒎= −∞;−𝟏 ∪[𝟏;∞) 𝒇 𝒙 =𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙= 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ∄  –1 1 y = cossec x sen x 2 3/2 /2 x /2  3/2 2 –/2 – –3/2 5/2 𝑫={𝒙∈ℝ/𝒙≠𝒌.𝝅,𝒌∈ℤ} 𝑰𝒎= −∞;−𝟏 ∪[𝟏;∞)

Função Secante 𝑫= 𝒙∈ℝ/𝒙≠ 𝝅 𝟐 +𝒌.𝝅,𝒌∈ℤ 𝑰𝒎= −∞;−𝟏 ∪[𝟏;∞) 𝒇 𝒙 =𝒔𝒆𝒄 𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 -1  1 ∄ 𝟏 y = sec x cos x 2 3/2 /2 x /2  3/2 2 –/2 – –3/2 5/2 𝑫= 𝒙∈ℝ/𝒙≠ 𝝅 𝟐 +𝒌.𝝅,𝒌∈ℤ 𝑰𝒎= −∞;−𝟏 ∪[𝟏;∞)

Função Cotangente 𝑫={𝒙∈ℝ/𝒙≠𝒌.𝝅,𝒌∈ℤ} 𝑰𝒎=ℝ 𝒇 𝒙 =𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏 𝒙= 𝟏 𝒕𝒈 𝒙 𝟎 -1  −𝟏 𝟏 y = sen x 1 cos x 2 3/2 /2 x ∄ cotan x /2  3/2 2 –/2 – –3/2 5/2 𝑫={𝒙∈ℝ/𝒙≠𝒌.𝝅,𝒌∈ℤ} 𝑰𝒎=ℝ