Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4 Modelos de portefólio Carlos Arriaga Costa (estas notas baseiam-se no livro de Benninga S, 2000, Financial Modelling, Mit Press) 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Questões desta unidade Como se determina o retorno de um activo? Como e porquê o ajustamento com os dividendos distribuídos? Que estatística para análise da relação de dois ou mais activos? O que é um portefólio eficiente? Como se calcula a matriz das variâncias-covariâncias? Como se calcula a matriz das variâncias e covariâncias? Como se calcula a matriz Inversa<das variâncias e covariâncias? O que é o vector Z? Como se calcula o vector de proporções Xi? 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4 Retorno da acção Retorno da acção em tempo discreto retorno A = (Pt / P t-1) -1 Com dividendos retorno A = (Pt+ div / P t-1) -1 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4 Retorno da acção Retorno da acção em tempo contínuo Retorno A = ln (Pt / P t-1) Com dividendos retorno A = ln (Pt+ div / P t-1) 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Estatística para análise de portfólio cov (rA, rB) = 1 / M ∑ [rAt – E(rA)]. [rAt – E(rA)] Ω AB (correlação) = Cov (rA, rB) /σAσB E (rp) = γ E (rA) + (1- γ) E(rB) Var (rp) = γ2 σA2 + (1- γ)2 σB2 +2 γ (1- γ) cov (rA, rB) 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Media e variância de um portfólio Vector Г de proporçoes de um portefólio Г = [ γ1 Гt = [γ1 , γ2 ……. γn] γ2 ...- - E (RP) = ∑ γi E(ri) γn] 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Media e variância de um portfólio Retorno do portfolio esperado na notação matricial E (RP) = ∑ γi E(ri) = Гt E ( r ) = E ( r )t Г E(r)t = [E (r1) , E (r2) ……. E (rn) ] Rp = Гt S Гt = Rp S-1 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Media e variância de um portfólio Var (rp) = γi2 var (ri) + 2 ∑∑ γi γj cov (ri, rj) Em que Var (ri) = σi σi Cov (ri, rj) = σi j Var (rp) = ∑∑ γi γj σij 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Matriz das variâncias e co- variâncias Inversa da matriz =Minverse (A.. : D..) Nota: Marcar com ctr e rato a zona da matriz; colocar na célula o comando; Marcar CTRL SHIFT ENTER 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4 Vector Z =MMULT(MINVERSE(A6:D9),G6:G9)) Matriz var-covar vector de retornos medios Z é o vector solução da equação: Z = S-1{R-c} Marcar com ctr e rato a zona do vector Z; colocar na 1ªcélula o comando; Marcar CTRL SHIFT ENTER 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4 Vector X Z w Z y 0.1019 0.0540 -0.0101 -0.1163 0.5657 0.2998 -0.0353 -0.4067 0.1141 0.0605 0.0047 0.0544 1.1052 0.5857 0.1274 1.4687 O vector z no Portfolio w é totalmente positivo e o vector x corresponde às proporção de cada activo no portfolio O vector z no Portfolio y tem valores positivos e negativo e o vector x corresponde às proporção de cada activo no portfolio (na medida em que o somatorio é 1) , mas considerando que os valores negativos correspondem a activos em posição de venda e os positivos em posição de compra. 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Cálculo de estatísticas dos activos Mean (x) Mmult (transpose_x, means) Var (x) Mmult(Mmult(transpose_x, var_cov),x) Sigma(x) Sqrt(var_x) Cov(x,y) Mmult(Mmult(transpose_x, var_cov),y) Corr(x,y) cov (x,y)/(sigma_x*sigma_y) Vectores e matrizes : Marcar com ctr e rato a zona do vector ou matriz; colocar na 1ªcélula o comando; Marcar CTRL SHIFT ENTER 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4

Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4 CONCLUSÃO Faz mais sentido uma medida em termos contínuos do que em termos discretos. O portefólio eficiente situa-se na fronteira de eficiencia ou na combinação linear de um portefólio de fronteira com o activo sem risco A matriz das variâncias-covariâncias mostra-nos as diferenças de retornos dos activos do portefólio. As proporções de cada acção no portefólio é obtida pela resolução da equação: Z = X.S-1 18-05-2019 Economia Bancária e Financeira - Unidade Prática 4