LEI NORMAL: a rainha das leis do acaso Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Lição Delfos, 14 de Abril de 2007
Plano da exposição Lei normal: fotografia e assinatura Lei normal ou lei dos erros A lei dos grandes números O teorema central do limite de de Moivre- Laplace Aplicação aos estudos de opinião O teorema central do limite de Laplace Aplicação ao controlo de qualidade
Observações que seguem a lei normal
Média a desvio-padrão de uma amostra Observações
Observações que seguem a lei normal
N(8.7,3.3)
Observações que seguem a lei normal
N(1000.2,9.6)
Observações que seguem a lei normal Área =~ Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas
Observações que seguem a lei normal
N(1010.1,20.0)
Observações que seguem a lei normal Área =~ Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas
A lei normal: fotografia e assinatura médiadesvio-padrão
A lei normal: fotografia e assinatura
Regra
Lei normal ou lei dos erros O matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) tem o seu nome ligado à lei normal.
Lei normal ou lei dos erros Grandeza observada = Grandeza verdadeira + Erro Erro = Grandeza observada - Grandeza verdadeira
Lei normal ou lei dos erros Erro = Peso observado -1000
Lei normal ou lei dos erros Antes de Gauss era assumido que a distribuição do erro era: 1) Simétrica relativamente à origem; 2) Unimodais; 3) Suporte finito
Lei normal ou lei dos erros As distribuições de erro habitualmente consideradas não permitiam justificar teoricamente a prática corrente de tomar a média das observações como estimativa do verdadeiro valor da grandeza desconhecida.
Lei normal ou lei dos erros Em 1809 Gauss determina a forma que deve ter a distribuição dos erros de modo que a média das observações seja o estimador teórico da grandeza desconhecida :
Lei dos grandes números de Jacques Bernoulli ( ) Para uma qualquer experiência aleatória, quando o número de repetições desta é elevado, a proporção de ocorrências desse acontecimento aproxima-se, tanto quanto queiramos, da probabilidade desse acontecimento (1713). dado1.xlsdado2.xls
Distribuição da proporção amostral
Teorema central do limite de de Moivre ( ) – Laplace ( ) Quando o tamanho da amostra é grande, a proporção amostral é aproximadamente normal: onde é a probabilidade do acontecimento em causa (1733, 1812).
Quando p=1/3 e n=10: Teorema central do limite de de Moivre ( ) – Laplace ( )
Quando p=1/3 e n=40: Teorema central do limite de de Moivre ( ) – Laplace ( )
Uma aplicação aos estudos de opinião +
Para aproximadamente 95% das amostras:
Para a amostra anterior: Uma aplicação aos estudos de opinião Margem de erro: No caso do PS temos: + +
Uma aplicação aos estudos de opinião Intervalo de confiança a 95%:
Distribuição da média amostral A proporção amostral é uma média: com Será a aproximação normal válida para uma qualquer média?
Distribuição da média amostral
Se é calculada a partir de observações independentes com média e desvio-padrão, então Teorema central do limite de Laplace ( ) para grande (1812).
Aplicação ao controlo de qualidade Um processo de empacotamento de açúcar está conforme se o peso médio dos pacotes for de 1000 gramas com uma variabilidade de 7 gramas:
Aplicação ao controlo de qualidade
Para obtemos Aplicação ao controlo de qualidade Para aproximadamente 99,7% das amostras
Carta de controlo
Modelo de Galton
Movimento Browniano
BOM TRABALHO DURANTE O FIM-DE-SEMANA. DIVIRTAM-SE.