Grandezas Vetoriais & Operações com Vetores

N° + PADRÃO + ORIENTAÇÃO Escalares e Vetores As Grandezas Físicas podem ser ESCALARES ou VETORIAIS. GRANDEZA ESCALAR N° + PADRÃO DE MEDIDA GRANDEZA VETORIAL N° + PADRÃO + ORIENTAÇÃO Ex.: comprimento; massa; tempo; temperatura; volume; pressão; energia; etc. Ex.: deslocamento; velocidade; aceleração; força; torque; impulso; campos; etc.

VETOR é um ente matemático constituído de um módulo, direção e sentido, utilizado em Física para representar as grandezas vetoriais. RETA SUPORTE (DIREÇÃO) B (extremidade: sentido) “para onde” V (vetor V) A (origem) OBS: módulo de 𝑽  | 𝑽 | ou V = medida do segmento de reta 𝑨𝑩

São vetores iguais ou equipolentes. Comparação entre vetores I – Vetores Equipolentes (ou Iguais) São vetores que apresentam as mesmas características: mesmos módulos; mesmas direções e mesmos sentidos. 𝑩 𝑨 = 𝑩 = 𝑪 𝑨 São vetores iguais ou equipolentes. 𝑪

São vetores simétricos ou opostos. São vetores simétricos ou opostos. II – Vetores Simétricos (ou Opostos) São vetores que apresentam mesmos módulos; mesmas direções; porém, apresentam sentidos contrários. 𝒙 𝒙 = - 𝒚 𝒚 São vetores simétricos ou opostos. 𝒘 = - 𝒛 𝒘 𝒛 São vetores simétricos ou opostos.

Componentes ortogonais de um vetor São dados um vetor 𝐕 e um sistema cartesiano com dois eixos ortogonais x e y. Pode-se projetar a origem e a extremidade do vetor em cada eixo x e y, obtendo-se; assim, suas componentes ortogonais (perpendiculares) 𝑽 𝒙 e 𝑽 𝒚 .

Método Geométrico da Decomposição Vetorial y 𝑽 𝒙 : componente horizontal (ou tangencial) de 𝑽 𝐕 𝐕 𝐲 𝑽 𝒚 : componente vertical (ou normal) de 𝑽 x 𝐕 𝐱 OBS: Todo vetor apresenta duas componentes ortogonais.

Método Analítico da Decomposição Vetorial Vx Vy  : ângulo de elevação do vetor V medido a partir da horizontal (referencial). 𝐕 𝐱 = Vcos 𝐕 𝐲 = Vsen

Adição vetorial (Vetor-soma ou vetor-resultante “r”) A adição vetorial é a operação que permite calcular um único vetor cujo efeito é equivalente ao efeito produzido pelos vetores-parcelas. Para representar o vetor-soma, pode-se utilizar dois processos geométricos, que podem ser aplicados indistintamente, obtendo-se o mesmo resultado.

MÉTODO DO PARALELOGRAMO MÉTODO DO POLÍGONO MÉTODO DO PARALELOGRAMO Na extremidade do 1º vetor junta-se a origem do 2º vetor e assim por diante. O vetor-soma liga a origem do 1º vetor com a extremidade do último vetor. Liga-se os vetores dados pela origem. Da extremidade de cada vetor, constrói-se um paralelogramo. A diagonal do paralelogramo, traçada a partir da origem dos vetores-parcelas, é o vetor-soma. 𝐕 𝟏 𝐕 𝟐 𝐕 𝟏 𝐕 𝟐 𝐕 𝟏 𝐕 𝟏 𝐕 𝟐 𝑺 = 𝐕 𝟏 + 𝐕 𝟐 𝑺 = 𝐕 𝟏 + 𝐕 𝟐 𝐕 𝟐

S = 0 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆 = 𝟎 Importante! O módulo do vetor-soma de dois vetores só será igual a zero se; e somente se, forem simétricos. O módulo do vetor-soma de três ou mais vetores só será igual a zero se; e somente se, a linha poligonal formada for fechada (coincidência entre a extremidade do último vetor com a origem do primeiro vetor). 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆 = 𝟎 S = 0

Método Analítico da Soma Vetorial 𝑨 𝑹 A.sen   𝑩 A.cos R R² = (B + Acos)² + (Asen)² R²= B² + 2ABcos + A²cos² + A²sen² R² = A²(sen² + cos²) + B² + 2ABcos  R² = A² + B² + 2 A B cos

Sendo assim, qualquer que seja a direção entre os dois vetores-parcelas, o módulo do vetor-resultante pertencerá ao intervalo: | A – B | ≤ R ≤ A + B Importante! I) Existe tal que O vetor é o elemento neutro da soma de vetores. Ele é um vetor com módulo zero. II) Existe tal que O vetor é o vetor simétrico da soma de vetores.

subtração vetorial (Vetor-diferença “D”) III) A adição vetorial é comutativa, isto é, para quaisquer vetores 𝑎 e 𝑏 , temos: IV) A adição vetorial é associativa, isto é, para quaisquer vetores 𝑎 , 𝑏 e 𝑐 , temos: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 subtração vetorial (Vetor-diferença “D”) Subtrair dois vetores consiste em somar o primeiro vetor com o vetor-simétrico do segundo.

Método Analítico da Subtração Vetorial 𝒂 +(− 𝒃 ) − 𝑏 A soma de de um vetor com um vetor simétrico define a subtração de vetores. Para realizá-la é suficiente aplicar qualquer método geométrico a esses vetores: Método Analítico da Subtração Vetorial 𝑏 𝐷 𝑏 − 𝑏 − 𝑏 180° -  𝑫 = 𝒂 +(− 𝒃 )  − 𝑏 𝑏 Identidade importante: cos(180° - ) = - cos D² = a² + b² + 2a b cos(180° - )  D² = a² + b² + 2a b(- cos)  D² = a² + b² - 2 a b cos

RESUMO!

Produto de um vetor por um escalar Seja K um número real não nulo e um vetor não nulo. A esse número e a esse vetor associamos um vetor, que simbolizamos por K : I. com a mesma direção de ; II. com módulo igual ao módulo de K vezes o módulo de ; III. com o mesmo sentido de , se K é positivo, mas com sentido oposto ao de , se K é negativo. Entretanto, se K = 0 ou se a = 0, definimos K como sendo o vetor-nulo.

Versor de um Vetor Um vetor que possui módulo igual a 1, independente de sua direção e sentido, é nomeado de “vetor unitário”. Vetor no plano, em função dos versores dos eixos coordenados Vamos associar um versor a cada eixo do plano cartesiano.

Assim, o versor 𝑖 = (1, 0) no eixo dos x e o versor 𝑗 = (0, 1) no eixo dos y, conforme a figura ao lado: * Decomposição vetorial em vetores unitários ortogonais (forma linear de um vetor):