MATEMÁTICA

Matemática contexto e aplicações Luiz Roberto Dante – 1º ano Ensino Médio

4º Bimestre – Sequências e trigonometria Neste bimestre foram trabalhados os temas: Sequências numéricas Progressão aritmética Progressão geométrica Teorema de Tales Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Relações trigonométricas no triângulo retângulo Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

(a1, a2, a3, …, an,) ou (an)n ∈ ℕ* ou (an) CAPÍTULO 7 – SEQUÊNCIAS Sequências Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função definida em ℕ* = {1, 2, 3, …, n,…} e tomando valores no conjunto ℝ dos números reais. f: ℕ*→ℝ Assim, a cada elemento n ∈ℕ* corresponde um único elemento an. Os elementos an são os termos da sequência, e as notações para a sequência são: (a1, a2, a3, …, an,) ou (an)n ∈ ℕ* ou (an) Dessa forma, f(1) = a1; f(2) = a2, …, f(n) = na .O índice n indica a posição do elemento na sequência. Desse modo, o primeiro termo é indicado por a1,o segundo por a2 , e assim por diante. Banco de imagens/Arquivo da editora Professor, após a introdução sobre sequências, instigue seus alunos a dar outros exemplos de sequências no dia a dia deles (e nosso também). Observe a diferença entre 𝑎 𝑛 e n. 𝑎 𝑛 é o n-ésimo elemento da sequência e n indica que o elemento está na posição n da sequência Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

Determinação de uma sequência por recorrência CAPÍTULO 7 – SEQUÊNCIAS Sequências Exemplos: a) A sequência dos números ímpares positivos é infinita: (1, 3, 5, 7, 9, …), na qual a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, a5 = 9, etc. b) A sequência dos quatro primeiros múltiplos de 5 é finita: (0, 5, 10, 15). Nesse caso, a1 = 0, a2 = 5, a3 = 10 e a4 = 15. Determinação de uma sequência por recorrência Quando conhecemos o primeiro termo de uma sequência e uma regra que permite determinar cada termo an a partir dos seus anteriores, dizemos que explicitamos a sequência por recorrência. Exemplo: Dada a sequência: a1 = 1 n = 1 ⟹ a2 = 3a1 + 1= 3 ⋅ 1 + 1 = 4 n = 3 ⟹ a4 = 3a2 + 1= 3 ⋅ 13 + 1 = 40 n = 2 ⟹ a3 = 3a2 + 1= 3 ⋅ 4 + 1 = 13 Portanto a sequência é dada por: (1, 4, 13, 40, …) Observe que 𝑎_(𝑛+1) é o termo posterior ao termo 𝑎_𝑛. Assim, podemos ler o exemplo da seguinte forma: O termo posterior é obtido por 3 vezes o termo anterior, adicionado de uma unidade. Professor, cite a Sequência de Fibonacci. 𝑎 1 =1 𝑎 𝑛+1 =3 𝑎 𝑛 + 1, para n ≥𝟏 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

Progressão aritmética – PA CAPÍTULO 7 – SEQUÊNCIAS TERMO GERAL DA SEQUÊNCIA E PROGRESSÃO ARITMÉTICA A fórmula do termo geral de uma sequência é uma função que associa a posição do elemento (n) ao seu valor na mesma (an). Exemplo: Encontre o 21° termo da sequência numérica, onde a fórmula do termo geral é an = 5n + 2. Observe que estamos querendo encontrar o a21, portanto, basta substituir n por 21 na fórmula: a21 = 5 ⋅ 21 + 2 = 107 Progressão aritmética – PA Progressão aritmética é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão da progressão e é representada pela letra r. A sequência (2, 7, 12, 17, ...) é uma progressão aritmética infinita de razão 5, em que a1 = 2 e r = 5 . Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS CAPÍTULO 7 – SEQUÊNCIAS REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS Três termos em PA: (x − r, x, x + r) Cinco termos em PA: (x − 2r, x − r, x, x + r, x + 2r). Classificação das progressões aritméticas Crescente: a razão r é positiva (r > 0) Decrescente: A razão r é negativa (r < 0) Constante: A razão r é nula (r = 0) Exemplos: A PA (2, 5, 8, 11, 14, ...) é crescente pois r = 3 > 0 A PA (16, 14, 12, 10, ...) é decrescente pois r = −2 < 0 A PA (7, 7, 7, 7) é constante pois r = 0 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + (n – 1)r 𝑎 𝑛 = termo geral 𝑎 1 = primeiro termo CAPÍTULO 7 – SEQUÊNCIAS FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + (n – 1)r 𝑎 𝑛 = termo geral 𝑎 1 = primeiro termo n = número de termos (até 𝑎 𝑛 ) r = razão da PA Exemplo: Qual é a razão da PA que se obtém inserindo 5 termos entre 2 e 38? Resolução: a1 = 2 e a 7 = 38 a7 = a1 + 6r 38 = 2 + 6r ⟹ 6r = 36 ⟹ r = 6 Logo, a razão da PA é 6. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑛 2 𝑆 5 = 𝑎 1 + 𝑎 5 5 2 𝑎 1 = primeiro termos CAPÍTULO 7 – SEQUÊNCIAS FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA PA FINITA 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑛 2 𝑎 1 = primeiro termos 𝑎 𝑛 = termo geral n = número de termos 𝑆 𝑛 = é a soma dos n termos Exemplo: Um ciclista percorre 20 quilômetros na primeira hora, 17 quilômetros na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas? Resolução: Calculando 𝑎 5 : 𝑆 5 = 20 +8 5 2 𝑆 5 = 𝑎 1 + 𝑎 5 5 2 𝑎 5 = 𝑎 1 + 4r 𝑎 5 = 20 + 4. (-3) 𝑎 5 = 8 𝑆 5 = 70 𝑘𝑚 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

𝑎 𝑛 = termo geral 𝑎 1 = primeiro termo 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 . 𝑞 𝑛 −1 𝑎 1 = 8 CAPÍTULO 7 – SEQUÊNCIAS Progressão geométrica – PG Progressão geométrica: sequência de números reais não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior. Esse quociente constante é chamado razão (q) da progressão. Fórmula do termo geral: 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 . 𝑞 𝑛 −1 𝑎 𝑛 = termo geral 𝑎 1 = primeiro termo n = número de termos (até 𝑎 𝑛 ) q = razão da PG Exemplo: Quantos elementos tem a PG (8, 32, ..., 2 31 )? Resolução: 𝑎 1 = 8 𝑎 𝑛 = 2 31 q = 4 2 31 = 8 . 4 𝑛 −1 2n + 1 = 31 Portanto, a PG tem 15 termos. 2 31 = 2 3 . 2 2𝑛 −2 2n = 30 2 31 = 2 3+2𝑛 −2 n = 15 2 31 = 2 2𝑛 + 1 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG (3, 6, 12, ...) CAPÍTULO 7 – SEQUÊNCIAS FÓRMULA DA SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG FINITA 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 . 1 − 𝑞 𝑛 1 −𝑞 , para q ≠1 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 . 𝑞 𝑛 −1 𝑞 −1 , para q ≠1 ou Exemplo: Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG (3, 6, 12, ...) Resolução: 𝑎 1 =3 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 . 1 − 𝑞 𝑛 1 −𝑞 𝑆 10 =3 . 1 − 2 10 1 − 2 =3 . 1 −1024 −1 =3069 q = 2 n = 10 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 7 – SEQUÊNCIAS SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA 𝑠 𝑛 = 𝑎 1 1 −𝑞 Para −1 < q < 1, o limite da soma da PG infinita é: Exemplo: Determine a soma da PG infinita 1 3 + 2 9 + 4 27 + ... Resolução: Como 2 3 < 1, podemos usar a fórmula 𝑠 𝑛 = 𝑎 1 1 −𝑞 Professor, comente com seus alunos que números entre 0 e 1 quando elevados a expoentes infinitamente grandes, seu valor tende a zero. 𝑎 1 = 1 3 q = 2 3 𝑠 𝑛 = 1 3 1 − 2 3 = 1 3 1 3 = 1 Logo, o valor procurado é 1. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 8 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO TEOREMA DE TALES Se duas transversais intersectam um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos de reta quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos de reta correspondentes da outra. Banco de imagens/Arquivo da editora Professor, recorde com seus alunos as propriedades de proporção. 𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐶′ 𝐴′𝐵′ ou 𝐴𝐶 𝐵𝐶 = 𝐴′𝐶′ 𝐵 ′ 𝐶′ Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 8 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO TEOREMA DE TALES Exemplos: Determine o valor de x nas figuras seguintes, sabendo que as retas r, s, e t são paralelas. Resoluções: 𝑎) 2 5 = 𝑥 4 b) 2𝑥 −1 3𝑥+4 = 3 6 5 x = 8 6(2x – 1)= 3(3x + 4) x = 8 5 12x – 6 = 3(3x + 4) 12x – 6 = 9x + 12 3x = 18 x = 6 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 8 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Homólogos: que têm a mesma posição relativa; correspondentes. Observe os triângulos ABC e A’B’C’: Professor, comente com seus alunos, que se a razão de semelhança for 1, os triângulos são congruentes. ∆ABC ~∆A′B′C′ B ≅ 𝐵′ C ≅ 𝐶′ A ≅ 𝐴′ e 𝑎 𝑎′ = 𝑏 𝑏′ = 𝑐 𝑐′ → razão de semelhança Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 8 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO CASOS DE SEMELHANÇA 1° caso: critério AA (Ângulo, Ângulo) Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do outro. 2° caso: critério LLL (Lado, Lado, Lado) Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. 3° caso: critério LAL (Lado, Ângulo, Lado) Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 8 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intersecta os outros dois lados em pontos distintos determina outro triângulo semelhante ao primeiro. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 8 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Relações métricas no triângulo retângulo Elementos do triângulo retângulo a hipotenusa b cateto c cateto m projeção do cateto c sobre a n projeção do cateto b sobre a h altura I. c² = am II. ah = bc III. b² = an IV. h² = mn V. b² + c² = a² Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 8 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Relações métricas no triângulo retângulo a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) b e c são as medidas dos catetos (lados que, ente si ,formam o ângulo reto) b é o cateto oposto ao ângulo 𝐵 c é o cateto oposto ao ângulo 𝐶 Os triângulos OCD, OEF, OGH, etc. são semelhantes por terem os mesmos ângulos. Podemos, portanto, escrever Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 8 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO RELAÇÕES ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE 1ª) Relação fundamental do triângulo retângulo 𝑠𝑒𝑛 2 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 (0° < α < 90°) 2ª) 𝑡𝑔 𝛼 = sen α cos α (0° < α < 90°) 3ª) sen α = cos β e cos α = sen β α e β são complementares Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 8 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO RELAÇÕES ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE Examine o triângulo retângulo seguinte e calcule o valor das razões: a) sen α d) sen β b) cos α e) cos β c) tan α f) tan β Resolução: Professor, comente com seus alunos que a relação (V) é o Teorema de Pitágoras.   Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 4º Bimestre