MATEMÁTICA

Matemática contexto e aplicações Luiz Roberto Dante – 2º ano Ensino Médio

2º Bimestre – Matrizes, determinantes e sistemas lineares Neste bimestre foram trabalhados os temas: Matrizes Representação genérica de uma matriz Matrizes especiais e transposta de uma matriz Igualdade e operações entre matrizes Determinante de matrizes de ordem 2 e de ordem 3 Sistemas de equações lineares Classificação dos sistemas lineares Discussão de um sistema linear Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES DEFINIÇÃO DE MATRIZ  Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1. Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por m ⋅ n números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Dizemos que a matriz é do tipo m x n ou de ordem m x n. Exemplo: 𝟏 𝟐 −𝟓 𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 é uma matriz do tipo 2 × 3 (dois por três – duas linhas e três colunas) Professor, comente que os elementos das matrizes aparecem entre parênteses, colchetes ou duplas barras. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES DEFINIÇÃO DE MATRIZ Observações: Quando m = 1, a matriz é chamada matriz linha. Exemplo: 1 3 − 2 é uma matriz linha do tipo 1 x 3 2. Quando n = 1, a matriz é chamada matriz coluna. Exemplo: 𝟓 𝟐 −𝟏 é uma matriz coluna do tipo 3 x 1 3. Quando m = n = 1, a matriz é chamada matriz unitária. Exemplo: 4 é uma matriz unitária (1 x 1 ) Observe que no item 1., o elemento 3 encontra-se na primeira linha e segunda coluna da matriz; no item 2., o elemento -1 encontra-se na terceira linha e primeira coluna da matriz; no item 3., o único elemento se encontra na primeira linha e primeira coluna da matriz. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ Os números que aparecem na matriz são chamados elementos ou termos da matriz. A matriz A, do tipo m × n, será escrita, genericamente, do seguinte modo: A= (aij)m × n, com 1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n e i, j ∈ Lê-se: matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES MATRIZES ESPECIAIS Matriz quadrada Em uma matriz m × n, quando m = n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a matriz é quadrada do tipo n × n ou simplesmente de ordem n. Matriz identidade É a matriz quadrada de ordem n em que todos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero e seu símbolo é In. Professor, dê exemplos dessas matrizes no quadro e mostre a diagonal principal e a secundária de uma matriz quadrada. Matriz nula É a matriz onde todos os elementos são iguais a zero. A matriz nula do tipo m × n é simbolizada por 0m × n, e a matriz nula de ordem n por 0n. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES IGUALDADE E ADIÇÃO DE MATRIZES Igualdade entre matrizes Duas matrizes, A e B, são iguais se, e somente se, têm o mesmo tipo e seus elementos correspondentes são iguais As matrizes 3 1 5 6 e 6 :2 2−1 5 . 1 4+2 são iguais, pois ambas são do mesmo tipo (quadradas de ordem 2) e possuem os elementos correspondentes iguais. Adição de matrizes Dadas duas matrizes, A e B, do mesmo tipo, m × n, denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos por A + B, a matriz C do tipo m × n na qual cada elemento é obtido adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. Professor, reforce com seus alunos de que a adição entre duas matrizes só é possível se o número de linhas da primeira é igual ao número de linhas da segunda e o número de colunas da primeira é igual ao número de colunas da segunda. Se possível, faça um exemplo no quadro. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES MATRIZ OPOSTA E SUBRTRAÇÃO DE UMA MATRIZES Matriz oposta Denomina-se matriz oposta de uma matriz A (representa-se por − A) a matriz que somada com A resulta em uma matriz nula. Se A = 3 6 −2 1 , então a matriz oposta de A é −3 −6 2 −1 . Subtração de matrizes Sendo A e B duas matrizes do tipo m x n, denomina-se diferença entre A e B (representada por A − B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A − B = A + (− B). Professor, se possível, dê exemplos dessas matrizes no quadro. 3 −2 5 10 0 −1 - 2 −3 6 −4 5 1 = 3 −2 5 10 0 −1 + −2 3 −6 4 −5 −1 = 1 1 −1 14 −5 −2 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ E MATRIZ TRANSPOSTA Multiplicação de matriz por um número real Se A é uma matriz m × n, de elementos aij, e α é um número real, então α ⋅ A é uma matriz m × n cujos elementos são α ⋅ aij. Sendo A = 5 8 −1 −4 3 6 , então 2A = 2 5 8 −1 −4 3 6 = 2 . 5 2 . 8 2(−1) 2(−4) 2 . 3 2 . 6 = 10 16 −2 −8 6 12 Matriz transposta Seja A uma matriz m × n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se por At) a matriz n × m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A. A = 6 −2 4 5 𝐴 𝑡 = 6 4 −2 5 Exemplos: Notamos que, se A = (aij) é do tipo m × n, então At = (bji) é do tipo n × m e bji = aij. 𝐴 𝑡 = 3 0 10 −2 −1 6 𝐴= 3 10 −1 0 −2 6 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Dada uma matriz A = (aij) do tipo m × n e uma matriz B = (bij) do tipo n × p, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo m × p tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB. Exemplo: Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES DETERMINANTE DE UMA MATRIZ O determinante de uma matriz é um número real associado às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determinante. O determinante de ordem 2 Dada a matriz A = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 , indicamos seu determinante deste modo: det A = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 = 𝑎 11 . 𝑎 22 - 𝑎 12 . 𝑎 21 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – MATRIZES E DETERMINANTES O DETERMINANTE DE ORDEM 3 Consideremos a matriz genérica de ordem 3: A = . O determinante da matriz de ordem 3 é o número: Professor, comente com seus alunos que os determinantes são apresentados entre duas barras. Exemplo: Portanto, det A = 72 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – SISTEMAS LINEARES EQUAÇÕES LINEARES De modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode ser escrita na forma geral: . a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b na qual: x1, x2, x3, …, xn são incógnitas; a1, a2, a3, …, an são números reais chamados coeficientes das incógnitas; b é o termo independente. Professor, dê exemplos de equações não lineares. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – SISTEMAS LINEARES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Denomina-se sistema linear m x n o conjunto de m equações lineares em n incógnitas, que pode ser representado da seguinte forma: Solução de um sistema linear (α1, α2, α3, …, αn) é solução de um sistema linear quando (α1, α2, α3, …, αn) é solução de cada uma das equações do sistema, ou seja, satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema. (5, 1) é solução do sistema . Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – SISTEMAS LINEARES CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES Sistema impossível possível determinado indeterminado tem solução não tem solução a solução é única tem infinitas soluções Sistema possível e determinado Sistema possível e indeterminado Sistema impossível Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – SISTEMAS LINEARES CONSIDERAÇÕES Matrizes, sistemas lineares e determinantes Qualquer sistema linear n x n pode ser escrito como um produto de matrizes. O sistema pode ser escrito como . Sistemas possíveis e determinados sempre têm determinante não nulo (D ≠ 0) Sistemas possíveis e indeterminados ou impossíveis sempre têm determinante nulo (D = 0)   Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – SISTEMAS LINEARES ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES Considerando um sistema genérico m x n, dizemos que ele está escalonado quando a matriz dos coeficientes tiver, em cada uma de suas linhas, o primeiro elemento não nulo situado à esquerda do primeiro elemento não nulo da linha seguinte. Além disso, linha com todos os elementos nulos deve estar abaixo de todas as outras. Observando as equações do sistema escalonado, percebe-se que, em cada linha considerada, a primeira incógnita com coeficiente não nulo está sempre à esquerda da primeira incógnita com coeficiente não nulo da linha seguinte. São exemplos de sistemas escalonados: Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – SISTEMAS LINEARES CLASSIFICAÇÃO E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ESCALONADOS Considere an ⋅ xn = kn a última linha de um sistema de equações lineares escalonado, em que an, xn e kn são, respectivamente o coeficiente, a incógnita e o termo independente. an ≠ 0 ⟹ a solução é única. (Sistema possível e determinado). an = 0 e kn = 0 ⟹ infinitas soluções. (Sistema possível e indeterminado). Professor, dê exemplos de sistemas lineares equivalentes. an = 0 e kn ≠ 0 ⟹ nenhuma solução. (Sistema impossível). Sistemas lineares equivalentes Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – SISTEMAS LINEARES PROCESSO PARA O ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR Para transformar um sistema não escalonado em um sistema equivalente escalonado, podemos usar os seguintes procedimentos que não irão alterar a solução do sistema. Trocar a posição das equações Multiplicar todos os termos de uma equação por um número real não nulo. 3x − y + z = 5 ⇒ 6x − 2y + 2z = 10 Multiplicar todos os termos de uma equação por um mesmo número real diferente de zero e somar os resultados aos membros correspondentes da outra equação. Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, essa equação será suficiente para afirmar que o sistema é impossível, isto é, tem S= ∅ Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – SISTEMAS LINEARES Discussão de um sistema linear n × n, com n > 2. Primeira maneira: Escalonamos o sistema até a última linha e, a partir dela, fazemos a discussão do sistema. Segunda maneira: Calcula-se o determinante de modo que seu valor não seja nulo, obtendo, então, as condições dos parâmetros para que o sistema seja possível e determinado. Com o mesmo determinante, impõe-se que seu valor seja nulo para então substituirmos no sistema os valores obtidos a partir dessa condição. Escalona(m)-se o(s) sistema(s) até a última linha e, a partir dela, pode ser concluída a discussão do sistema de acordo com as classificações possíveis dos sistemas lineares escalonados. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 2º Bimestre