DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS TE220 DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS Bibliografia: Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J. Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U. Cambridge University Press (1988) The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company (1977) Física Vol 1. 4ta edição. Tipler P. LTC editora (1999)

Introdução Como resolver estes circuitos? i(t)=?, v(t)=?, q(t)=?... Utilizando equações no domínio dos números reais Utilizando equações no domínio dos números complexos A relação de Euler ei = cos + i sen (relaciona funções harmônicas com exponenciais complexas!!!) Vamos analisar o primeiro circuito RLC acima

Método da amplitude complexa 𝑅𝐼+ 𝑞 𝐶 +𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =𝑉 𝑡 = 𝑉 0 cos⁡(𝜔𝑡) Segundo Kirchhoff 𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑𝑡 2 +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 = 𝑉 0 cos⁡(𝜔𝑡) Como i=dq/dt temos Com a solução do tipo: 𝑞 𝑡 = 𝑞 0 𝜔 cos⁡[𝜔𝑡−𝛼(𝜔)]

Método da amplitude complexa Utilizando Euler 𝑞 𝑡 = 𝑞 0 𝜔 cos 𝜔𝑡−𝛼 𝜔 =Re 𝑞 0 𝑒 𝑖 𝜔𝑡−𝛼 = =Re { 𝑞 0 𝑒 −𝑖 𝜔𝑡−𝛼 } Passamos a trabalhar com 𝑞 𝑡 = 𝑞 0 𝑒 −𝑖 𝜔𝑡−𝛼 = 𝑞 0 𝑒 𝑖𝛼 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 Onde: 𝑞 0 (𝜔) 𝑒 𝑖𝛼(𝜔) ≡𝑞(𝜔) Amplitude complexa, ela contem todas as informações que precisamos para determinar a solução unívoca da equação do circuito!!!!!

Método da amplitude complexa 𝐼 𝑡 = 𝑑𝑞 𝑡 𝑑𝑡 =Re { −𝑖𝜔𝑞 0 𝑒 −𝑖 𝜔𝑡−𝛼 } O mesmo com I(t) Passamos a trabalhar com 𝐼 0 𝜔 =−𝑖𝜔 𝑞 0 𝑒 𝑖𝛼 =−𝑖𝜔𝑞(𝜔) Onde: 𝑖𝜔𝑞 0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼 𝜔 ≡ 𝐼 0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼 𝜔 ≡ 𝐼(𝜔) Vamos agora resolver a equação do circuito RLC 𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑𝑡 2 +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 = 𝑉 0 cos⁡(𝜔𝑡)

Método da amplitude complexa 𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑𝑡 2 +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 = 𝑉 0 cos⁡(𝜔𝑡) Solução proposta é: 𝑞 𝑡 = 𝑞 0 𝜔 cos⁡[𝜔𝑡−𝛼(𝜔)] Procedimento no domínio dos reais ou dos complexos??? Procedimento no domínio dos números reais Escrevemos: cos 𝜔𝑡−𝛼 𝜔 = cos 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝛼 A equação acima se transforma em: 𝐷 cos 𝜔𝑡 +𝑆 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) Onde D e S contem as constantes L, R, C e  além de q0 e  Logo: D=V0 e S=0 e assim determinamos q0 e 

Método da amplitude complexa 𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑𝑡 2 +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 = 𝑉 0 cos⁡(𝜔𝑡) Solução proposta é: 𝑞 𝑡 = 𝑞 0 𝜔 cos⁡[𝜔𝑡−𝛼(𝜔)] Procedimento no domínio dos números complexos Aqui definimos: 𝑞 𝑡 =Re { 𝑞 0 𝑒 −𝑖 𝜔𝑡−𝛼 }=Re {𝑞(𝜔) 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 } 𝑉 𝑡 = Re {𝑉(𝜔) 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 } Neste caso V()=V0 pois =0 para a fonte de tensão Substituindo na equação temos: − 𝜔 2 L−iω𝑅+ 1 𝐶 𝑞 𝜔 =𝑉(𝜔)

Método da amplitude complexa De onde: Cociente entre dois complexos! O de cima é um número real (V0) O de baixo tem modulo e ângulo de fase: ( 1 𝐶 − 𝜔 2 L) 2 + (ω𝑅) 2 𝑡𝑔𝛿=− 𝜔𝑅 1 𝐶 − 𝜔 2 L Como a amplitude da razão entre dois números complexos é igual à razão entre as amplitudes e o ângulo de fase é a diferença entre os ângulos de fase individuais, teremos: 𝑞 0 𝜔 = 𝑉 0 ( 1 𝐶 − 𝜔 2 L) 2 + (ω𝑅) 2 𝑡𝑔𝛼= 𝜔𝑅 1 𝐶 − 𝜔 2 L (𝛼=−𝛿)

Método da amplitude complexa O mesmo poderia ser feito para a amplitude complexa da corrente no circuito. Ela é obtida multiplicando q() por (i), ou seja: I 𝜔 ≡ 𝐼 0 ω 𝑒 𝑖𝛽 = −𝑖𝜔𝑞 𝜔 =−𝑖𝜔𝑞 0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼 𝜔 = 𝑒 −𝑖 𝜋 2 𝜔 𝑞 0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼 𝜔 =𝜔 𝑞 0 𝜔 𝑒 𝑖[𝛼 𝜔 − 𝜋 2 ] 𝐼 0 ω =𝜔 𝑞 0 𝑒 𝛽=𝛼− 𝜋 2 Ou seja: O mesmo poderia ser feito para dI/dt 𝑎 𝜔 ≡𝑎 0 𝜔 𝑒 𝑖𝛾 𝜔 =− 𝜔 2 𝑞 𝜔 = 𝜔 2 𝑞 0 (𝜔)𝑒 𝑖(𝛼 𝜔 −𝜋) 𝑎 0 𝜔 ≡ 𝜔 2 𝑞 0 𝜔 𝛾(𝜔) =𝛼(𝜔)−𝜋

Método da amplitude complexa No caso geral, em que V(t) = V0 cos(t+) q(ω) 1 𝐶 𝑞 𝜔 = 𝑉(𝜔) 1 𝐶 − 𝜔 2 L−iω𝑅 Im Como: 1 𝐶 − 𝜔 2 L q(ω) teremos: V()  𝑉(𝜔)= ( 1 𝐶 − 𝜔 2 L)𝑞 𝜔 −iω𝑅𝑞 𝜔  Re em fase fora de fase −𝑖𝜔𝑅𝑞(𝜔) Como: 𝑞 𝜔 ≡𝑞 0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼 𝜔 →â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼 − 𝜔 2 𝐿q(ω) 𝑡𝑔(𝛼−∅)= 𝜔𝑅 1 𝐶 − 𝜔 2 L Defasagem entre V(t) e q(t) será: