Sistemas de coordenadas polares Polo Eixo polar Ponto (r, 𝜃) ° r ° 𝜃 (0< 𝜃 < 90º) r 𝜃 (90º< 𝜃 < 180º) 𝜃 180º< 𝜃 < 270º) Observação: As coordenadas polares de um ponto não são Únicas. ° 𝜃 270º< 𝜃 < 3600º) Ex.: (1, 315º), ( 1, -45º) e (1, 675º) representam o mesmo ponto °

Relações entre as coordenadas polares e as retangulares 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 P (x, y) tan 𝜃 = 𝑦 𝑥 y P (r, 𝜃) sen 𝜃 = 𝑦 𝑟 r y=r.sen 𝜃 𝜃 x cos 𝜃 = 𝑥 𝑟 x=r.𝑐𝑜𝑠 𝜃

Em coordenadas polares As notas de aula nestas dez transparências são baseadas em H. Anton: Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p. 122 a 139. Gráficos em coordenadas polares r = cos(2θ) Em coordenadas polares t grau cos(2t) 1 15 0,866025 22,5 0,707107 30 0,5 45 6,13E-17 60 -0,5 67,5 -0,70711 75 -0,86603 90 -1 105 112,5 120 135 -1,8E-16 150 157,5 165 180 t grau cos(2t) 195 0,866025 202,5 0,707107 210 0,5 225 3,06E-16 240 -0,5 247,5 -0,70711 255 -0,86603 270 -1 285 292,5 300 315 -4,3E-16 330 337,5 345 360 1 Obs.: r < 0 considerar o ponto(-r, π + α)

Em coordenadas retangulares r = cos(2θ) 1 π/2 3π/2 θ π -1

Exercícios: Escrever r = cos(2θ) em coordenadas retangulares. 2. Esboçar as curvas em coordenadas polares e escrevê-las em coordenadas retangulares: r = 1; b) θ = π/4; c) r = θ (θ > 0) 3. Desenhar r = 1 - cos(θ) (cardióide) em coordenadas retangulares. Construir uma tabela com o Excel, de 15º em 15º, para essa equação. Desenhar em um sistema polar. Confirmar com o Winplot. Escrever r = 1 – cos(θ) em coordenadas retangulares. Desenhar com o Winplot

4. Seja r2 = 4cos(2θ). Construir uma tabela com o Excel, de 15º em 15º, para essa equação. Desenhar em um sistema polar. Confirmar com o Winplot. 5. Desenhar com o winplot as duas famílias de rosáceas: r = a.sen(nθ) e r = a.cos(nθ). Fazer a = 1 e desenhar essas curvas considerando n = 2, 3, 4, 5, 6. Escrever essas famílias em coordenadas retangulares. 6. Desenhar com o winplot as famílias de espirais: a) De Arquimedes (r = aθ). b) Parabólica (r = aθ1/2). c) Logaritmica (r = aebθ). d) Hiperbólica ( r = a/θ) Escrever essas famílias em coordenadas retangulares.

7. Desenhar com o winplot as famílias de circunferências: r = a; b) r = 2ª.cos(θ); C) r = 2ª.sen(θ); Escrever essas famílias em coordenadas retangulares. Exercícios: Identifique a curva transformando as equações polares em retangulares a) R = 2; b) r.sen(θ) = 4; c) r = 3.cos(θ); d) r = 6/(3cos (θ) + 2 sen(θ)) e) R = 5.sen (θ); f) r = 4.cos (θ) + 4.sen (θ); g) r = sec(θ).tg(θ) 2. Expressar as equações em coordenadas polares: a) x = 7; b) x2 + y2 = 9; c) x2 + y2 – 6y = 0; d) 4xy = 9; e) y = -3; f) x2 + y2 + 4y = 0; g) x2(x2 + y5)= y2

Esboçar os gráficos em coordenadas polares a) θ = π/6; b) r = 3; c) r = 4.senθ; d) r = 6.cosθ; e) r = 1 + senθ; f) R = 3.(1- senθ); g) r = 4 – 4cosθ; h) r = 3 + 4cosθ; i) r2 = 9cos(2θ); j) r2 = 16sen(2θ); h) r = 4θ (θ ≤ 0)

Retas tangentes para curvas paramétricas e polares As notas de aula nestas dez transparências são baseadas em H. Anton: Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p. 122 a 139. Retas tangentes para curvas paramétricas e polares Uma curva y = F(x) pode ser dada por suas equações paramétricas: x = f(t), y = g(t) Se f(t) e g(t) têm derivadas primeiras contínuas, temos, usando a derivada da função composta: sendo dx/dt≠ 0, que permite encontrar dy/dx a partir das equações paramétricas da curva

Exemplo: Achar a equação da reta tangente ao círculo dado por suas equações paramétricas x = cos t, y = sen t, para 0 ≤ t ≤ 2π, no ponto onde t = π/6. E no ponto t = 4π/3. Exemplo: Um avião de papel, lançado no instante t = 0 segue a trajetória x = t – 3sen(t), y = 4 – 3cos(t) e bate em um muro quando t = 10. Em que instantes o avião voou horizontalmente? b) Em que instantes o avião voou verticalmente? Fonte: ANTON , H. (1999). P. 136

Exemplo: Encontrar e nos pontos (1,1) e (1,-1) na parábola semicúbica dada pelas equações paramétricas x = t2 , y = t3 para -∞ < t < ∞ Como escrever essa função como y = F(x)? Exemplo: Encontrar a inclinação da reta tangente e a reta tangente à curva paramétrica dada por x = cos(3t), y = 4sen(2t) nos pontos t = π/4 e t = 7π/4

Retas tangentes a curvas polares Vimos que se r = f(θ) é uma curva em coordenadas polares, então cos(θ) = x/r x = r.cos(θ) e sen(θ) = y/r y = r. sen(θ) E então, x = f(θ).cos(θ) e y = f(θ).sen(θ) Assim, x e y são funções de θ. Logo, derivando x e y em relação a θ, Derivada de y em relação a x quando temos uma curva polar

Exemplo: Achar a inclinação da reta tangente ao círculo r = 4cos(θ) no ponto onde θ = π/4. Confirmar a resposta obtendo y = f(x). Exemplo:Achar os pontos da cardióide r = 1 – cos(θ) onde há uma reta tangente horizontal e onde há uma reta tangente vertical. Teorema:Se a curva polar r = f(θ) passa na origem em θ = θ0, e se dr/dθ ≠ 0 em θ = θ0 então a reta θ = θ0 é tangente à curva na origem. θ = 2π/3 θ = π/2 θ = π/3 Exemplo:A rosácea de três pétalas r = sen(3θ) tem três retas tangentes à origem. Comprovar com o teorema e com y = f(x). (em sala de aula r = sen(3θ)