Incomensurabilidade entre o lado e a diagonal do pentágono. Introdução: O que é um pentagrama?
O Pentagrama: O pentagrama é uma figura geométrica que está intimamente relacionada aos pitagóricos; O pentagrama é a figura formada pela união das diagonais de um pentágono regular; A construção deste pentágono utilizando somente régua e compasso está detalhada no ambiente Cabri.
Figura 1: Pentagrama.
A matemática envolvida: O pentagrama é uma de difícil construção, porém ele é repleto de “boas propriedades”, que serão detalhadas posteriormente; Paralelamente, construímos um pentagrama no ambiente Geometer´s Sketchpad semelhante ao da Figura2.
Figura2: O pentagrama e a incomensurabilidade.
Propriedades do pentagrama: O pentagrama é baseado em triângulos isósceles cujos ângulos da base são o dobro do ângulo remanesnescente; Todos os ângulos na Figura2 são múltiplos do ângulos fundamental: BÂC =36 graus. Por semelhança de triângulos, temos que: AF = BE.
Incomensurabilidade: Aplicando o algoritmo de antifairese entre o lado AB e a diagonal AD temos: AB = AE + EB = AD + EG; onde EG é a diagonal do pentágono menor e é menor do que AD; AD = AF + FE; onde FE é o lado do pentágono menor e é menor do que AF.
Conclusão: Aplicando o algoritmo de antifairese, entre a diagonal e o lado do pentágono teremos, após dois passos, que repetir o processo para o pentagrama menor, e este processo continua indefinidamente. Usando isso como critério de incomensurabilidade temos que o lado e a diagonal do pentágono são incomensuráveis. Voltar