Modelização e Linearização Representação matemática de sistemas Modelos de entrada/saída Modelo de estado Representação matemática de SLITs Linearidade, invariância no tempo e causalidade Transformada de Laplace unilateral Função de transferência: formas factorizada e das constantes de tempo Modelo físico Sistemas mecânicos de translação Sistemas mecânicos de rotação Sistemas electromecânicos Linearização Álgebra de blocos

Representação Matemática de Sistemas Modelos de entrada/saída sistema Equação diferencial linear ou não linear variante ou invariante no tempo Função de transferência só para sistemas lineares e invariantes no tempo Resposta impulsional Modelo de estado -- relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema linear ou não linear variante ou invariante no tempo

Representação Matemática de SLITs Causais Função de transferência Sistema invariante no tempo Transformada de Laplace unilateral Sistema linear Sistema causal

Transformada de Laplace (expressão algébrica & região de convergência ) Bilateral: Unilateral: Caracteriza a evolução temporal do sinal para . Quando é causal, i.e., , A transformada de Laplace unilateral de um sinal é completamente caracterizada pela sua expressão algébrica

Transformada de Laplace Unilateral Exemplo 1: causal

Transformada de Laplace Unilateral Exemplo 2: não causal

Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral P1: Linearidade então Se e P2: Translação no Tempo Se causal, e então P3: Translação no Domínio da Transformada Se então P4: Mudança de Escala Se e então

Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral P5: Convolução Se e causais, e então P6: Diferenciação no Domínio do Tempo Se então Generalizando P7: Diferenciação no Domínio da Transformada Se então

Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral P8: Integração no Domínio do Tempo Se então P9: Teorema do Valor Inicial Se causal e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem , então P10: Teorema do Valor Final Se causal e se convergir para um valor constante quando , então

SLIT Causal Contínuo de Ordem N sistema invariante no tempo e causal: sistema linear: condições iniciais nulas, i.e.,

Equação Diferencial Função de Transferência SLIT causal condições iniciais nulas

Função de Transferência Forma factorizada: zeros: polos: Forma das constantes de tempo: zeros: polos: Ganho estático:

Modelação Matemática A partir de considerações de ordem física, e de um conjunto adequado de hipóteses simplificativas, encontrar um modelo matemático que descreva os aspectos essenciais do comportamento do processo a controlar. Exemplos: sistemas mecânicos de translação: amortecedor de um carro, sistema de controlo de velocidade; sistemas mecânicos de rotação: pêndulo, carro com pêndulo invertido; sistemas electromecânicos: motor de corrente contínua.

Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção Lei de Newton: – soma das forças aplicadas ao corpo – massa do corpo – velocidade linear – momento linear Para massa constante: – deslocamento linear – aceleração linear

Sistemas mecânicos de translacção Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção (elementos básicos) Massa Mola – constante elástica da mola – força de restituição da mola

Sistemas mecânicos de translacção Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção (elementos básicos) Atrito – coeficiente de atrito – força de atrito

Sistemas mecânicos de translacção Exemplo: amortecedor de um carro Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção Exemplo: amortecedor de um carro deslocamento linear na mola e no atrito aceleração do chassis força de restituição da mola força de atrito

Sistema de Controlo de Velocidade Objectivo: Manter constante a velocidade do veículo Modelo do sistema físico: Entrada: força gerada pelo motor Saída: velocidade do automóvel controlador motor sensor de velocidade

Sistema de Controlo de Velocidade Modelo do sistema físico Lei de Newton: força do atrito Sistema de 1ª ordem:

Sistema de Controlo de Velocidade Modelo do sistema físico função de transferência sistema controlado

Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação Lei de Newton: – soma dos binários aplicados – momento de inércia – velocidade angular – momento angular Para constante: – deslocamento angular

Sistemas mecânicos de rotação Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação (elementos básicos) Inércia Mola rotacional – constante da mola – binário de restituição da mola

Sistemas mecânicos de rotação Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação (elementos básicos) Atrito rotacional – coeficiente de atrito – binário de atrito

Sistemas mecânicos de rotação Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação Exemplo: pêndulo aceleração angular da massa binário que resulta da força da gravidade binário aplicado momento de inércia em torno do ponto de rotação

Carro com Pêndulo Invertido centro de gravidade do pêndulo Carro com Pêndulo Invertido Lei de Newton aplicada ao movimento segundo x:

Carro com Pêndulo Invertido Lei de Newton aplicada ao movimento de rotação do pêndulo: binário devido à aceleração linear do pêndulo binário resultante da força da gravidade

Carro com Pêndulo Invertido

Motor de corrente contínua Sistemas Electromecânicos campo fixo circuito de armadura circuito de armadura:

Motor de corrente contínua Sistemas Electromecânicos campo fixo circuito de armadura Binário no veio do motor:

Motor de corrente contínua Sistemas Electromecânicos Motor de corrente contínua campo fixo circuito de armadura

Motor de corrente contínua Sistemas Electromecânicos Motor de corrente contínua campo fixo circuito de armadura Força contra-electromotriz:

Linearização Aproximação linear em torno de pontos de equilíbrio Exemplo: pêndulo Para pequenos: ponto de equilíbrio:

Linearização Pontos de equilíbrio: Série de Taylor em torno de : sistema não linear Pontos de equilíbrio: Série de Taylor em torno de : termos de ordem superior Modelo linear em torno de :

Exemplo: carro a alta velocidade Linearização Exemplo: carro a alta velocidade Força de atrito: termo linear + termo quadrático Sistema de não linear:

Exemplo: carro a alta velocidade Linearização Exemplo: carro a alta velocidade Pontos de equilíbrio: Estudo do comportamento do sistema em torno de : Expansão em série de Taylor do termo quadrático:

Exemplo: carro a alta velocidade Linearização Exemplo: carro a alta velocidade

Álgebra de Blocos Exemplo paralelo série Como simplificar?

Álgebra de Blocos Exemplo (cont.) 1. Combinar blocos em cascata 2. Combinar blocos em paralelo

Álgebra de Blocos Exemplo (cont.) realimentação 3. Eliminar blocos de realimentação

Álgebra de Blocos Exemplo (cont.) forma canónica da realimentação

Outras transformações Álgebra de Blocos Outras transformações

Outras transformações Álgebra de Blocos Outras transformações

Álgebra de Blocos Exemplo malha de realimentação

Álgebra de Blocos Exemplo (cont.) malha de realimentação