Análise de Sistemas LTI no Domínio da Transformada 1. Introdução. 2. Resposta em Frequência de Sistemas LTI. 3. Equação Diferença de Sistemas LTI. 4. Análise da Função Sistemas no Domínio da Frequência. 5. Relação entre Módulo e Fase. 6. Sistema Passa-tudo (all-pass). 7. Sistemas de Fase Mínima. 8. Representação da Equação Diferença por Diagrama de Blocos 9. Estruturas Básicas para Sistemas IIR e FIR.

Introdução Um sistema LTI pode ser completamente caracterizado no domínio do tempo pela sua resposta ao impulso h[n]. A saída y[n] devido a uma dada entrada x[n] é especificada através da convolução soma Usando a propriedade da convolução pode-se representar transformada Z da resposta ao impulso por: Y(z) = H(z)X(z) com uma ROC apropriada. A resposta em frequência de um sistema LTI é definida como a transformada de Fourier da resposta ao impulso h[n]. A transformada de Fourier da entrada e da saída do sistema é estão relacionadas por:

Filtros Ideais Filtro passa-baixa Resposta em frequência Resposta ao impulso Filtro passa-alta Um filtro passa baixa ideal é não causal e sua resposta se estende de - a +. Portanto não é possível computar a saída de um filtro passa baixa ideal recursivamente ou não recursivamente, isto é, não é computacionalmente realizável. A resposta em fase de um filtro passa baixa ideal é zero.

Fase e Retardo de Grupo Para entender os efeitos da fase de um sistema linear, considere um sistema com retardo ideal e a sua resposta em frequência. com periodicidade 2 e nd inteiro. Exemplo: filtro passa-baixa ideal retardo de grupo indica o grau de (não) linearidade da fase

Retardo de Grupo Se () é constante, então fase é linear ou zero. O desvio do valor constante indica não linearidade. Espectro de fase Retardo de grupo

Resposta para Sistemas Caracterizado por Equações Diferenças com Coeficientes Constantes Considere a classe de sistemas cuja relação entre a entrada e a saída satisfazem a equação: Aplicando a transformada Z em ambos os lados, tem-se: Explicitando as raízes

Exemplo 1: Dado H(z) para um sistema determine a sua equação diferença. A equação diferença é portanto: Exemplo 2:

Causalidade e Estabilidade Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso é absolutamente somável, isto é: que é equivalente à condição de que a ROC inclui o círculo unitário. Exemplo 3: Causal: |z|>2 Estável: 0,5<|z|<2 ROC: 1. |z|>2; 2. 0,5<|z|<2; 3. |z|<0,5;

Sistema Inverso: Hi(z) G(z) = H(z)Hi(z) = 1, portanto, No domínio do tempo: No domínio da frequência: Representando por uma função racional Se a ROC é |z|>0,5, H(z) é causal e estável e Hi(z) é ainda causal e estável. Os pólos e zeros estão dentro do círculo unitário Exemplo 4:

Exemplo 4: H(z) é estável. Se a ROC de Hi(z) é |z|>0,5, então Hi(z) é causal e estável.Observe que os pólos e zeros estão dentro do círculo unitário Exemplo 5: Se a ROC é |z|>2, Hi(z) é causal e instável. Se a ROC é |z|<2, Hi(z) é estável e não causal

Resposta Impulso de Funções Sistemas Racionais Considere a representação de expansão em frações parciais: onde há somente pólos de primeira ordem. Cada pólo (segundo termo) contribui com uma exponencial para h[n], tal que: Supondo que H(z) é causal, e que todos os pólos estão dentro do círculo unitário. Se existem somente termos como os da primeira parcela, então o sistema é chamado de FIR ( Finite Impulse Response) Se existem somente termos como os da segunda parcela, então o sistema é chamado de IIR (Infinite Impulse Response)

Exemplo de Filtro IIR Exemplo de Filtros FIR

Resposta em Freqüência para Sistemas Racionais Se um sistema LTI e estável, a sua ROC inclui o circulo unitário e conseqüentemente ele possui transformada de Fourier. Portanto a função sistema pode ser escrita na forma.

Resposta em Freqüência Expressando em decibeis(dB): Relação entre entrada e saída Zero – adição de fase Pólos – subtração de fase

Retardo de Grupo para um Sistema Racional Valor Principal Fase – Devido a periodicidade da fase, considera-se para análise, os valores compreendidos entre

Exemplo 1: Resposta em Frequência de filtros FIR h[n] Resposta em frequência: a) Amplitude; b) Fase; c) Retardo de grupo

Exemplo 2: Resposta em Frequência de filtros FIR h[n] 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 n Resposta em frequência: a) Amplitude; b) Fase; c) Retardo de grupo

Resposta em Freqüência de Pólo e Zero Simples Da equação que ralaciona pólos e zeros Considerando um único pólo forma substituindo Calculando em dB Fase:

Resposta em Freqüência de Pólo Simples em dB Valor máximo: Valor mínimo:

Resposta em frequência para um zero simples, r = 1; 0,9; 0,7 e 0,5.

r = 1,09; 1,25 e 2,0. Resposta em frequência para um zero simples, real e fora do círculo unitário. r = 1,09; 1,25 e 2,0.

Sistemas Passa Tudo (All Pass) Um passa tudo é um sistema da forma (ou cascata destes) Forma Geral - com pólos reais e complexos Sistema passa tudo tem resposta em fase não positiva para 0<<. Sistema passa tudo tem sempre retardo de grupo positivo.. Causal/estavel:

Sistema Passa Tudo Exemplo: Passa tudo com M = N = 2Mc + Mr = 4 pólos e zeros 0.8 0.5 Plano Z Círculo unitário 2

Sistema de Fase Mínima Um sistema com todos os seus pólos e zeros dentro do círculo unitário (causal e estável) é chamado de fase mínima. E seu inverso é ainda causal e estável. Conhecendo-se H(z), sem especificar a ROC, a determinação de h[n] não é única. No entanto, se é conhecido que o sistema é de fase mínima, determina-se a representação única de h[n] sem a necessidade de especificar a ROC, devido aos requisitos de seus pólos e zeros.

Decomposição em um Passa Tudo e um Fase Mínima Qualquer sistema racional com função sistema H(z) pode ser escrita como: Hmin(z) contém todos os pólos e zeros dentro do círculo unitário, em cascata com um passa tudo HAp(z), com zeros rebatidos para fora do círculo unitário. Propriedades do sistema de fase mínima Hmin(z) : Tem fase mínima. Tem retardo de grupo mínimo Tem energia mínima.

Exemplo1: Para ilustrar a decomposição considere o sistema Rescrevendo H(z) Multiplicando e dividindo H(z) por para completar o passa tudo, tem-se: Hmin(z) Hap(z)

Exemplo 2 Neste caso tem-se dois zeros fora do círculo unitário. Fatorando-se: Agora, multiplicando e dividindo H(z) por

Aplicação: Compensação da Resposta em Freqüência Sistema com distorção Sistema compensação Após a compensação: G(z) corresponde a um sistema passa tudo. O módulo da resposta em freqüência é exatamente compensada. A resposta em fase é modificada por um fator:

Função de Transferência de um filtro Considere a equação diferença de um sistema linear invariante, com coeficientes constantes: Calculando a transformada Z de ambos os lados Reescrevendo H(z) como produto de duas funções

Representação da Equação Diferença por Digrama de Blocos - Realização Direta I

Diagrama de Blocos: Realização na Forma Direta II Substituindo W(z)

Exemplo: Implementação de um sistema LTI Considere o sistema LTI com função de transferência Implementação na forma direta I e direta II

Implementação usando Signal Flow Graph: Formas Diretas Dada a equação diferença Forma Direta II Forma Direta I

Estrutura de Sistemas IIR: Forma Cascata Fatorando-se o numerador e o denominador de H(z), pode-se escrever Que pode ser disponibilizado como cascata de seções menores Vantagem: Seções menores. Desvantagem: Propagação de erro de seção para seção.

Realização Paralela Fatorando-se o numerador e o denominador de H(z), pode-se escrever Que pode ser disponibilizado como cascata de seções menores 

Estrutura de IIR: Exemplo (Cascata) Dado o sistema de segunda Estrutura em cascata (não única)

Estrutura de IIR: Exemplo (Paralela) Dado o sistema de segunda Parallel Structure (Not unique) Forma paralela, usando sistemas de segunda ordem Forma paralela, usando sistemas de primeira ordem

FILTROS FIR: Realização na Forma Direta FILTROS FIR: Realização na Forma Transposta

FILTROS FIR: Realização na Forma Direta Realização de um sistema FIR com fase linear com M Par

Realização de um sistema FIR com fase linear com M Ímpar Simetria dos Zeros de um sistema FIR com fase Linear

Projeto de Filtros Digitais Dado um conjunto de especificações ou algumas restrições com relação à: - Resposta em amplitude - Resposta em fase Encontrar tal que . ou

Projeto de Filtros Digitais As restrições podem incluir: Fase zero (ou próximo) ou linear. Banda passante e frequência de corte. A intensidade do ripple na banda passante. A intensidade do ripple na banda de rejeição. A forma da transição entre as bandas passante e de rejeição. A ordem do filtro K, M.

Projetos de Filtros FIR No caso de filtros FIR: bo=1 e Então A resposta ao impulso unitário é: Problema: Dada as especificações sobre e , encontrar Vantagens: São sempre estáveis. Podem ter fase linear exatas . Fáceis de projetar. Desvantagem: Em geral tem ordens altas, para satisfazerem as restrições.

Projetos de Filtros FIR Projetar um filtro digital FIR com M+1 coeficientes que se aproxime da resposta em frequência desejada com Geralmente d(n) não pode ser realizado por algumas razões: d(n) tem duração infinita contém descontinuidades; se d(n) é não causal; outras; O método da janela é o mais simples para se projetar um filtro FIR. Consiste em se multiplicar a resposta ao impulso desejada, por uma janela, w[n] para limitar o tamanho de

Projetos de Filtros FIR usando Janela Definindo onde Então o filtro deve ter resposta em frequência Exemplo: Janela Retangular

Outras Janelas Hamming : Hanning: Blackman:

Usando o Matlab: Tipos de Janelas w = bartlett(n) w = chebwin(n,r); r:Estabelece que riple do lóbulo lateral deve estar a r dB abaixo do lóbulo principal. w = hamming(n) ; n = tamanho da janela w = hanning(n) w = kaiser(n,beta) ; beta parâmetro que afeta a atenuação do lóbulo lateral da transformada de Fourier. Parâmetro de um função de Bessel modificada. w = triang(n)

Projeto Filtros Digitais FIR Usando Matlab SINTAX h = fir1(n,Wn): defaut: Janela de Hamming; Wn=frequência de corte de um filtro passa- baixa. Para filtro passa faixa Wn=[wc1 wc2]. Exemplo: h = fir1(48,0.25); h = fir1(48,[0.35 0.65]); h = fir1(n,Wn,'ftype'):ftype especifica: high para filtro passa alta com frequência de corte Wn. stop para filtro rejeita faixa com frequência de corte Wn = [w1 w2] k = fir1(48,0.25,’high’);

Projeto Filtros Digitais FIR Usando Matlab h = fir1(n,Wn,window) Window especifica a janela h = fir1(n,Wn,'ftype',window) ftype especifica: high para FPA com frequência de corte Wn. stop para filtro rejeita faixa com frequência de corte Wn = [w1 w2] Exemplo: h = fir1(34,0.48,'high',chebwin(35,30));

Projeto Filtros Digitais FIR Remez : Algoritmo de Parks-McClellan projeto de filtros FIR (otimizado). Sintax b = remez(n,f,a) b = remez(n,f,a,w) b = remez(n,f,a,'ftype') b = remez(n,f,a,w,'ftype') b = remez(...,{lgrid}) b = remez(n,f,'fresp',w) b = remez(n,f,'fresp',w,'ftype') b = remez(n,f,{'fresp',p1,p2,...},w) b = remez(n,f,{'fresp',p1,p2,...},w,'ftype') [b,delta] = remez(...) [b,delta,opt] = remez(...) Projeto Filtros Digitais FIR

Projeto Filtros Digitais FIR Exemplo: f = [0 0.3 0.4 0.6 0.7 1]; a = [0 0 1 1 0 0]; h = remez(17,f,a); [h,w] = freqz(h,1,512); plot(f,a,w/pi,abs(h)), xlabel ('Frequencia'), ylabel('Amplitude') ,xlabel('Frequencia'), ylabel('Amplitude')