Aula 03 continuação

Cap. I: Conceitos Preliminares I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área: Tensão Média: área elementar força elementar momento elementar (desprezível) Tensão num Ponto: A unidade de tensão é, portanto, unidade de “força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa, GPa, etc.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão A tensão num ponto pode ser decomposta em: Tensão Normal sz, na direção normal z e Tensão de Cisalhamento tz, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z). A Tensão de Cisalhamento tz pode ser decomposta em duas componentes: tzx, na direção x, e tzy, na direção y.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento. A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão r ou de suas componentes s e t. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Tensão no Ponto.

representação do ponto P Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão O Estado de Tensão Num Ponto pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes s e t em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais entre planos paralelos que isolem um ponto P, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para representar este ponto. representação do ponto P

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. As forças resultantes nes-tas facetas constituem um sistema em equilí-brio estático. Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo-nentes sn e tn. Este plano também contém o ponto.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão sn é a tensão normal e tn a tensão de cisalha-mento neste plano (n é o eixo normal ao plano e t é um eixo tangente). A partir das condições de equilíbrio estático, SFn = 0 e SFt = 0 obtém-se as componentes sn e tn em função de sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx, tzy e dos cossenos diretores da normal n.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais entre si, pode-se conhecer as componentes em qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com-ponentes em três planos ortogonais arbitrá-rios: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo x indicado, tem-se: SMx = 0 a (tyzdxdz)dy – (tzydxdy)dz = 0

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Logo, tyz = tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: sx, sy, sz, txy, tyz, e tzx.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Logo, tyz = tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Convenção de Sinais: + _ + _

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Relações entre Esforços Internos e Tensões Se sz, tzx e tzy são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são: Integrando estes esforços elementares: esforço cortante na direção x esforço cortante na direção y esforço normal

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Relações entre Esforços Internos e Tensões Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são: Integrando estes momentos elementares: momentos fletores em torno de x e de y momento torsor

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-nindo um plano do corpo e formando um ân-gulo q entre si. A B C q plano indeformado O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos A, B e C se deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec-tivamente. A’ B’ C’ q’ plano deformado

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Deformação Linear Média: A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC, A B C q plano indeformado Deformação Linear de um Ponto: e A’ B’ C’ q’ plano deformado O conceito de deformação linear de um ponto pressupõe a direção na qual é medida.

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação A B C q plano indeformado ex é a deformação linear do ponto A na direção x e ey é a deformação linear do ponto A na direção y. A’ B’ C’ q’ plano deformado Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %.

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Deformação Angular Média: A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC, A B C q plano indeformado Deformação Angular de um Ponto: A’ B’ C’ q’ plano deformado O conceito de deformação angular de um ponto pressupõe o plano na qual é medida.

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação A B C q plano indeformado gxy é a deformação angular do ponto A no plano x-y. A’ B’ C’ q’ plano deformado Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em rd.

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini-to de valores das deformações e e g. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-mação no Ponto. A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado de Deformação Num Ponto também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações e e g em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são: ex, ey, ez, gxy, gyz e gzx.

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação ex: deformação linear na direção x, ey: deformação linear na direção y, ez: deformação linear na direção z, gxy: deformação angular no plano x-y, gyz : deformação angular no plano y-z, gzx : deformação angular no plano z-x.

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado Seja o deslocamento do ponto A após a deformação do corpo solicitado. Decompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias: A A’ z x y u v w u: deslocamento do ponto A na direção x v: deslocamento do ponto A na direção y w: deslocamento do ponto A na direção z

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição B’. A A’ plano deformado : projeção do ponto A’ no plano x-y : projeção do ponto B’ no plano x-y A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x u: deslocamento do ponto A na direção x DxB = u + Du : deslocamento do ponto B na direção x A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado Por definição, a deformação linear média do segmento AB é: A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é: A A’ plano deformado Logo, A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição C’. : projeção do ponto C’ no plano x-y A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y v: deslocamento do ponto A na direção y DyC = v + Dv : deslocamento do ponto C na direção y A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Por definição, a deformação angular média do plano ABC é: A A’ plano deformado A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é: A A’ plano deformado Logo, A A’ z x y u v w A’xy

Conceito de Deformação Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são: deformações lineares A A’ z x y u v w A’xy deformações angulares

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão: Estado Triplo ou Triaxial Estado Triaxial Uniforme

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão: Estado Plano notação alternativa

Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão: Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme

Estado de Cisalhamento Puro Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão: Estado Simples Estado de Cisalhamento Puro

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação: Estado Triplo ou Triaxial Estado Triaxial Uniforme

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação: Estado Plano notação alternativa

Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação: Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme

Estado de Cisalhamento Puro Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação: Estado Simples Estado de Cisalhamento Puro

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Às tensões normais correspondem deformações lineares Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares elemento indeformado elemento indeformado elemento deformado elemento deformado

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Constantes de Proporcionalidade: elemento indeformado E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal elemento deformado n: Coeficiente de Poisson

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Constantes de Proporcionalidade: elemento indeformado elemento deformado G: Módulo de Deformação Transversal

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Constantes de Proporcionalidade: E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico.

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): “Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-paradamente”

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: Utilizando o PSE, as somas das defor-mações decorrentes de cada componen-te de tensão, no ca-so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão:

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: Resolvendo para obter as tensões : l e G são as Constantes de Lamé

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Triplo de Deformação Estado Simples de Tensão A um estado simples de tensão corresponde um estado triplo de deformação

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Triplo de Tensão Estado Simples de Deformação A um estado simples de deformação corresponde um estado triplo de tensão

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam TRABALHO. onde W é o trabalho realizado pelos esforços, U é a energia potencial do corpo deformado e K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo. Como os esforços são aplicados lentamente, e

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. O esforço N é proporcional ao deslocamento w. é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo de deformação.

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw. O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Como a energia é uma grandeza escalar, é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz.

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se:

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º): 45º e Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão: cisalhamento puro biaxial

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é: Para o estado biaxial é:

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é: Para o estado biaxial é: Igualando as duas expressões:

Relações entre Tensões e Deformações Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como: e

Fim da Aula 03