Aula 09

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução III.2. Torção de Barras III.2.1. Seção Circular III.2.2. Seções Não Circulares III.3. Flexão Simples de Barras

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação tzx z x y tyz sz trz ttz z sz x y

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação Na superfície do contorno, não há solicitações tangenciais na direção longitudinal (z) nem na direção tangencial (t) - cortante atua no plano r-t. Portanto, nessa superfície, não há também tensões tangenciais nas direções z e t. tzt z sz tzr z r t ttr tzt ttz trt trz sz y tensões na seção transversal plano da superfície do contorno x trz plano da seção longitudinal plano da seção transversal

plano da seção longitudinal Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação Na seção transversal, as tensões de cisalhamento são tangenciais ao contorno. ttz z sz x y tzt plano da seção longitudinal r

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de sz As deformações provocadas pelo esforço cortante são muito inferiores às provocadas pelo momento fletor. Desprezando essas deformações e considerando como na Flexão Pura

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : A tensão de cisalhamento ttz , na seção transversal, decompõe-se e tzx e tyz. dz Vy Vy+dVy Mx Mx+dMx qy y x tzx tyz y x Vy Mx Devido à simetria, e As tensões tzx são de baixo valor e autoequilibradas; as tensões tyz resultam em Vy

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Componente tyz dz Vy Vy+dVy Mx Mx+dMx qy z y sz sz+dsz tzy by

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Componente tyz y x y* A* by

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Componente tyz y x y* A* by Igualando (1) e (2): Fórmula de Zhuravski

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Perfis Abertos e Fechados y x y* A* t tz Fórmula de Zhuravski: Nestes casos, como a tensão é sempre tangencial ao contorno, a fórmula de Zhuravski fornece a tensão resultante tz. na direção da LM by=2t

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento: Nestes casos, as tensões de cisalhamento resultam num binário em torno de z. x y Vy Vx Mx My A solicitação torna-se uma flexo-torção. Para que não haja momento torsor, é necessário que o plano de carregamento (plano de ação do esforço cortante resultante) seja tal que provoque um momento que venha a equilibrar aquele provocado pelas tensões devidas ao cortante. T

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento: O novo ponto de aplicação das componentes do esforço cortante chama-se Centro de Cisalhamento da seção. y Vy Vx Mx My Reduzindo, assim, os esforços ao CG da seção, o momento torsor se anula. xc xc e yc são as coordenadas do CC. yc x CC Dentre as seções usuais as mais recorrentes são as dos Perfis Abertos.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento: CG r dF ds t x y Vx Vy Perfis Abertos: Para o caso geral VxK0 e VyK0, é o fluxo cisalhante.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG r dF ds t x y Vx Vy onde S é o comprimento da LM da seção.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG r dF ds t x y Vx Vy Se T = 0, não haverá torção na seção. O momento torsor somente será nulo se Vx e Vy passarem por um ponto tal que a variável r torne as integrais acima nulas. Este ponto é o CC.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG dF ds t x y Vx Vy CC Se T = 0, não haverá torção na seção. yc xc O momento torsor somente será nulo se Vx e Vy passarem por um ponto tal que a variável r torne as integrais acima nulas. Este ponto é o CC. r

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Estas integrais serão resolvidas por partes, com base em uma mudança de variáveis.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Seja P um ponto qualquer contido no plano da seção transversal do perfil e O e A pontos quaisquer da linha média da seção. Se O é a origem a partir da qual se mede a variável s sobre a linha média e r a distância do ponto P ao ponto A, define-se área setorial do ponto A como O ds A s

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Área Setorial w de um ponto da Linha Média: O conceito de área setorial de um ponto depende, portanto, dos pontos arbitrários O e P. O é a origem e P o pólo. s O ds A é a variação da área setorial e equivale ao dobro da área do triângulo infinitesimal de base ds e altura r.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Área Setorial w de um ponto da Linha Média: Assim, a área setorial do ponto A da linha média é o dobro da área varrida pelo raio-vetor PO, a partir da origem O até o ponto A. s O ds A O A P w = 2* Área POA

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Área Setorial w de um ponto da Linha Média: Convenção de Sinais: O A P A O P s O ds A dw < 0 dw > 0

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Área Setorial w de um ponto da Linha Média: O gráfico w x s é chamado Diagrama de Áreas Setoriais w O P x y s (-) (+) Observar que, na origem, w = 0. s O ds A

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Área Setorial w de um ponto da Linha Média: x y dx dy ds P A A' B s O ds A

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Área Setorial w de um ponto da Linha Média: x y dx dy ds P A A' B s O ds A

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Variação da Área Setorial com a Origem: e onde s0 é a distância O1O2. s1 O1 ds A s2 s0 O2 Logo, = constante onde

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Variação da Área Setorial com a Origem: Alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da linha média. O1 s1 ds A O2 s2 s0 A diferença entre as áreas setoriais de um mesmo ponto é constante para todos os pontos.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P1 r ds x y O A Variação da Área Setorial com o Pólo: P2 a b P1 P2 A O x1 y1 x2 y2 a b x1O y1O

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P1 r ds x y O A Variação da Área Setorial com o Pólo: P2 a b P1 P2 A O x1 y1 x2 y2 a b x1O y1O ou

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P1 r ds x y O A Variação da Área Setorial com o Pólo: P2 a b P1 P2 A O x1 y1 x2 y2 a b x1O y1O Alterando-se o pólo, a área setorial de um ponto varia com sua posição relativa à origem.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Propriedades Geométricas Setoriais: Momento Estático Setorial: r x y ds t

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Propriedades Geométricas Setoriais: Momentos Setoriais Lineares: r x y ds t

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Propriedades Geométricas Setoriais: Momento de Inércia Setorial: r x y ds t

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos P r ds x y O A Propriedades Geométricas Setoriais: Alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da LM. Logo, para cada pólo arbitrado, haverá uma origem tal que Sw = 0. A área setorial calculada com base nesta origem é dita Área Setorial Principal. Se o pólo é o CG da seção, a área setorial é dita Área Setorial Central Principal.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG r dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Como visto, o momento torsor resultante da ação dos esforços cortantes é determinado por Este momento será nulo se

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG r dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Estas integrais serão resolvidas por partes, a partir da seguinte mudança de variável: e

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG r dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Assim, onde e Logo, e

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG r dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Substituindo estes valores na integral, y* Logo, e

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG r dF ds t x y Vx Vy xc yc CC y* Desta forma, ou Analogamente,

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG r dF ds t x y Vx Vy xc yc CC y* Conclusão: o momento torsor gerado pelos esforços cortantes vale: e somente será nulo se

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos CG r dF ds t x y Vx Vy xc yc CC y* Para que os momentos setoriais lineares sejam nulos, é necessário escolher o pólo adequadamente. Para tanto, toma-se inicialmente o CG como pólo, e determina-se os momentos setoriais lineares Iwx e Iwy. Por meio de mudança de pólo, determina-se os novos momentos setoriais lineares que devem, por sua vez, ser nulos. Este novo pólo é o CC e por ele devem passar Vx e Vy.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC A área setorial para um novo pólo será: onde w é a área setorial tomando o CG como pólo, xc e yc são as coordenadas do novo pólo e xO e yO as coordenadas da origem arbitrária.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC O momento setorial linear Iwxc será, então: Desenvolvendo-se esta expressão, tem-se:

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Como x e y são os eixos centrais principais, Assim, Analogamente,

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Assim, se o momento o torsor é nulo em relação ao eixo com origem em xc e yc, e

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária. De fato, ela pode ser qualquer, pois alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da LM e, consequentemente, os momentos setoriais lineares não se alteram, quando o pólo é o CG da seção.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária. Se o pólo é o CG da seção, Sx = 0 e, consequentemente,

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária. Analogamente, e, se o pólo é o CG da seção, Sy = 0 e, consequentemente,

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: b) O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. De fato, sendo a origem arbitrária, pode-se imaginá-la sobre o eixo de simetria. Logo, se o pólo é o CG, a área setorial w é anti-simétrica.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: b) O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. y -y x Sendo x um eixo de simetria,

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: b) O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. Sendo y um eixo de simetria, y x -x

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: b) O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. x CC CG y xc x y CC CG yc x y CCLCG

As coordenadas do CC também são designadas por xo e yo Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: c) Se as linhas médias de todos os componentes da seção concorrem para um mesmo ponto, este ponto é o seu CC. De fato, se o fluxo cisalhante resulta em um conjunto de forças concorrentes, o momento resultante é nulo. x CC CG y xc yc As coordenadas do CC também são designadas por xo e yo

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: d) Constante de Empenamento Cw. O momento setorial de inércia Iw calculado com base na área setorial principal (Sw = 0) e pólo no CC é uma propriedade geométrica da seção conhecida por Constante de Empenamento. Esta propriedade é utilizada para se medir a perda de planicidade da seção sob torção.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: d) Constante de Empenamento Cw. Seja wc a área setorial tomando o CC como pólo e uma origem arbitrária. Alterando a origem de modo a se obter Sw = 0, tem-se:

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos r CG dF ds t x y Vx Vy xc yc CC Observações: d) Constante de Empenamento Cw. Assim, e

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Corte A ordem de grandeza das tensões normais devidas ao momento fletor é, em geral, muito superior à das tensões de cisalhamento devidas ao cortante. Exemplo: L P y z y x b h em z=0, Vmáx = P Mmáx = PL

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Corte Portanto, em geral, quem governa o projeto de barras submetidas à flexão simples é o momento fletor. No entanto, à medida que o comprimento decresce, a diferença entre as máximas tensões normal e de cisalhamento diminui, podendo haver casos onde as tensões de cisalhamento serão de maior importância. Nestes casos a solicitação é denominada Corte.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Corte Exemplos: ligações parafusadas em solicitação axial parafusos P L2 L1 ligações soldadas em solicitação axial cordões de solda P L2 L1

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Corte Exemplos: ligações com conectores de cisalhamento em solicitação axial conectores P L2 L1 ligações coladas em solicitação axial cola P L2 L1

ligações parafusadas sob flexão ligações soldadas sob flexão Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Corte Exemplos: consoles L P M ligações parafusadas sob flexão L P M ligações soldadas sob flexão L P M entalhes V P

ligações parafusadas sob torção ligações soldadas sob torção Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Corte Exemplos: ligações parafusadas sob torção T T ligações soldadas sob torção

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Seções Corte peças coladas peças ligadas por conectores peças parafusadas ou ligadas por pinos Exemplos: perfil soldado viga mista com conectores de cisalhamento tensões longitudinais de cisalhamento

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Corte Admitindo-se, neste caso, a hipótese das seções planas, O cálculo da tensão de cisalhamento, portanto, só depende da avaliação adequada do esforço cortante que está atuando no 'meio de ligação'.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante) Resistência e Estabilidade: e onde e são, respectivamente, as máximas tensões de cálculo normal e de cisalhamento e são, respectivamente, as tensões limites normal e de cisalhamento (funções dos estados limites considerados) e é o coeficiente de resistência

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante) Resistência e Estabilidade: e e como na Flexão Pura e

para as seções, em geral, carregadas segundo o plano de simetria, Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante) Resistência e Estabilidade: e para as seções, em geral, carregadas segundo o plano de simetria, onde c é um fator que depende da geometria da seção, ou

para perfis abertos carregados segundo o seu CC ou Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante) Resistência e Estabilidade: e para perfis abertos carregados segundo o seu CC ou

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante) Resistência e Estabilidade: e no caso de Corte.

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante) Rigidez: A verificação da Rigidez é feita da mesma forma que na Flexão Pura, pois as deformações devidas ao esforço cortante são, em geral, desprezíveis.

Fim da Aula 09