Matemática II aula 3 Profª Débora Bastos

Recapitulação P (c,f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não existe. Para funções contínuas e deriváveis temos pontos extremos nos pontos críticos. Para funções contínuas e deriváveis temos: f crescente para valores de x em que f ’(x) > 0 f decrescente para valores de x em que f ’(x) < 0 f côncava para cima para valores de x em f ”(x) > 0 f côncava para baixo para valores de x em f ”(x) < 0 Ponto de inflexão é o ponto em que há mudança de concavidade. Ocorre entre os valores c tais que f ”(c) não existe ou f ”(c) = 0.

Traçando um esboço do gráfico de uma função Temo até agora como determinar: Pontos extremos Intervalos onde a função é crescente ou decrescente Intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo Pontos de Inflexão. Falta  Estudo das assíntotas.

Exemplos Assíntota oblíqua Assíntota horizontal Assíntota Assíntota vertical Assíntota vertical

Definição 11: A reta x = a será uma assíntota vertical do gráfico da função f, se pelo menos uma das afirmativas abaixo for verdadeira: (i) lim f(x) = +  x  a+ (ii) lim f(x) = +  x  a- (iii) lim f(x) =   (iv) lim f(x) =   x  a

1 Definição 12: A reta y = b é denominada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida: (i) lim f(x) = b e para um nº N, se x > N, então f(x)  b. x  + (ii) lim f(x) = b e para um nº N, se x < N, então f(x)  b. x  

Definição 13: Se lim [f(x) – (mx + b)] = 0 então a reta y = mx + b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância vertical entre a curva y = mx + b e y = f(x) tende a zero. Nota: Se f(x) for uma função racional as assíntotas obliquas ocorrem quando a diferença entre o grau do numerador e do denominador é 1.

Exemplo Ache as assíntotas do gráfico da função h definida por: e faça um esboço do gráfico. Solução: D(h) = lR – {1} Investigar o que ocorre à esquerda e à direita de x = 1. lim h(x) =   x1- lim h(x) = +  x1+ A reta x = 1 é uma assíntota vertical de h.

Exemplo lim h(x) =  lim h(x) = + x  x  +  h não possui assíntotas horizontais. Assíntota obliqua. y = x + 1 Pontos extremos: h’ existe em D(h) h’(x) = 0  x =  1 ou x = 3

Procedimentos para obter o gráfico de uma função bem detalhado. Determine o domínio de f; Ache a intersecção com o eixo oy se houver e se a equação de f for fácil ache as raízes da função; Teste a simetria em relação ao eixo oy (f(x)=f(x)) e a simetria em relação a origem (f(x)=  f(x)); Calcule f ’(x) e f ”(x); Determine os números críticos de f (f ’(x) não existe ou f ’(x) = 0); Verifique se os valores críticos são extremos (teste da segunda derivada); Determine os intervalos em que f é crescente ou decrescente (estudo do sinal de f ’);

Obtenha os valores de x em que f ”(x) não existe ou f ”(x)= 0; Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo (estudo do sinal de f ”). Verifique se os valores críticos obtidos no passo anterior são de inflexão; Verifique a existência de possíveis assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.

Exemplo Domínio: Intersecções: Simetrias: f’ e f”: Pontos críticos: Pontos extremos: Estudo do sinal de f’: Valores críticos de f”: Estudo do sinal de f”: Assíntotas: Faça o esboço do gráfico da função f abaixo:

Exemplo Domínio: Intersecções: Simetrias: f’ e f”: Pontos críticos: Pontos extremos: Estudo do sinal de f’: Valores críticos de f”: Estudo do sinal de f”: Assíntotas: Faça o esboço do gráfico da função f abaixo:

Exercícios Faça o mesmo para: