Modelagem de Sistemas Dinâmicos

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Transcrição da apresentação:

Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Modelos Um modelo é uma representação simplificada da realidade, de um processo, de um sistema ou de um problema a ser resolvido. Embora simplificado, ele faz uma representação suficientemente precisa dos aspectos essenciais do sistema. Ou, se preferir, um modelo é uma abstração ou uma aproximação que é usada para se entender e simular a realidade.

Representação gráfica Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Tipos de modelos: Icônico Matemático Diagramático Representação gráfica

O que é um modelo matemático? Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos O que é um modelo matemático? "É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema, que apresenta conhecimento desse sistema em uma forma utilizável." (Eykhoff, 1974) "É um sistema de equações, cuja solução, dado um conjunto de dados de entrada, é representativa da resposta do processo." (Denn, 1986) "Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática ele um processo real." (Seborg et al, 2004)

Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Um modelo matemático para um sistema dinâmico pode ser definido como um conjunto de equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema de maneira precisa, ou o melhor possível. Também recebe o nome de modelo dinâmico. Modelos com precisão elevada incluem equacionamento complexo onde todos os fenômenos envolvidos no processo são considerados relevantes e os parâmetros devem ser avaliados ou conhecidos precisamente, situação nem sempre possível.

Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Sistema O termo sistema é a combinação completa de equipamentos, materiais, energia, componentes que atuam em conjunto para satisfazer um objetivo especificado.

De maneira geral, um modelo matemático pode ser obtido de duas formas: Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos De maneira geral, um modelo matemático pode ser obtido de duas formas: Modelo analítico – situação quando o sistema físico é conhecido e permite sua análise sendo que os parâmetros são conhecidos ou determináveis. Modelo experimental – situação em que as aplicações das leis físicas não trazem resultados satisfatórios por que a constituição física do mesmo não é conhecida ou os parâmetros não podem ser conhecidos ou são muito imprecisos. Neste caso recorre-se a experimentos.

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Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Causal x Não-Causal Um sistema causal depende somente de condições presentes ou passadas, e não dependem de estados futuros. Sistemas físicos são todos sistemas causais. Estático x Dinâmico Estático: processo cujo valor das variáveis permanece constante no tempo. Este tipo de modelo não possui "memória", daí o efeito de uma variável de entrada ser apenas instantâneo. Dinâmico: as variáveis variam no tempo, que é a variável independente. A solução completa consiste dos regimes permanente e transitório. O efeito de um sinal de entrada irá influenciar o comportamento do sistema nos instantes subsequentes.

Determinísticos x Estocásticos Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Determinísticos x Estocásticos Em um modelo determinístico a saída pode ser calculada de forma exata tão logo se conheça o sinal de entrada e as condições iniciais. Em contraste, um modelo estocástico contém termos aleatórios que tornam impossível um cálculo exato da saída. Os termos aleatórios do modelo podem ser encarados como uma descrição das perturbações. Normalmente, o modelo determinístico engloba apenas o processo, enquanto o estocástico considera também as perturbações e ruídos.

Parâmetros Concentrados x Parâmetros Distribuídos Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Parâmetros Concentrados x Parâmetros Distribuídos Nos modelos a parâmetros concentrados as variações espaciais são desprezadas: propriedades (estados) do sistema são considerados homogêneos em todo o volume de controle. Eles são descritos por um número finito de equações diferenciais ou de diferenças ordinárias. Nos modelos a parâmetros distribuídos variações espaciais são consideradas no comportamento das variáveis. Eles são descritos por um número infinito de equações ordinárias ou por equações diferenciais parciais. Todo sistema real é distribuído.

Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Linear x Não-Linear Um sistema é chamado linear se a ele se aplica o princípio da superposição. O princípio da superposição estabelece que a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas excitações diferentes é igual à soma das duas respostas individuais a cada uma das excitações.

Princípio da Superposição Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Princípio da Superposição Se sua resposta a uma entrada u1(t) é y1(t) e a sua resposta a uma entrada u2(t) é y2(t) o sistema é linear se sua resposta para uma entrada a.u1(t) + b.u2(t) for igual a a.y1(t) + b.y2(t) onde a e b são constantes quaisquer. Uma forma simples de se verificar a linearidade de um sistema é aplicar o seguinte teste: F ( x1 + x2 )= f (x1) + f (x2) e f(k.x) = k. f(x)

Invariantes no tempo x Variantes no tempo Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos Invariantes no tempo x Variantes no tempo Nos modelos invariantes no tempo, seus parâmetros não variam ao longo do tempo, o oposto ocorrendo no caso de modelos variantes no tempo. Tempo Contínuo x Tempo Discreto Modelos em tempo discreto descrevem a relação entre entradas e saídas em pontos de tempo discreto.

Modelagem de Sistemas Dinâmicos Alessandro D. Trani Gomes – alessandrog@pitagoras.com.br Aula 1 – Introdução – Modelos No nosso curso de Modelagem de Sistemas Dinâmicos, concentraremos nossas atenções para os sistemas: causais, dinâmicos, determinísticos, com parâmetros concentrados, lineares, invariantes no tempo e contínuos.