11º MatViseu Conceitos de geometria…. Francisco Morgado

11º MatViseu Equação da recta e do plano… culinária Transição entre objectos, animações Bolzano suas implicações e suas limitações Determinação de zeros, porque falham alguns sistemas?, em pontos isolados, em componentes sem variação de sinal!!!!, …uma boa investigação!!!! Funções … Determinar o D’f (CDf), aritmética intervalar,etc. Reunião/intersecção de objectos Números complexos, aplicados na parte gráfica Várias dimensões….

Equação da recta B A 1 Recta  X = A + t*(B-A) t Segmento de recta  X = A + t*(B-A); t[0,1] X = (1-t)*A + t*B; t[0,1] X = (1-t^2)*A + t^2*B; t[0,1] X = (1-t^0.5)*A + t^0.5*B; t[0,1] 1

Equação do plano u P W(A,B,C) v Ax+By+Cz+D=0 Importância!?

Equação da recta Vectorial Qual a equação mais importante, para a programação ? Vectorial Paramétrica Cartesiana Reduzida Como posso saber quais os pontos que estão do mesmo lado?

Aplicação (culinária) - Como fazer Arroz Doce !? ArrozDoce(t) = (1-t)*Arroz + t*Doce; t[0,1] Se t  1 => ArrozDoce(s,t) = Arroz + s*Leite + t*Açucar; s,t[0,1] Açucar Leite Arroz Açucar Leite Arroz Açucar Leite Arroz

Aplicação (“Estudo”, cores, curvas bezier,…) - Aplicação ao estudo !? VidaEstudante(t) = (1-t)*Estudo + t*Diversão; t[0,1] Se t  1 ???; Se t = 0 (demasiado estudo) VidaEstudante(s,t) = Alimentação + s*Estudo + t*Diversão; - Mais dimensões!?, como representar ? - Aplicação nas cores !? MisturaCor(t) = (1-t)*Verde + t*Azul; t[0,1] Cor(s,t,u) = s*Vermelho+t*Verde + u*Azul; - Aplicação nas curvas, … na renault (inicialmente “Bezier”, 1962)… http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_B%C3%A9zier Programa de Bezier….

Aplicação (transição entre objectos) Objecto(t) = (1-t)*Obj_Inicial + t*Obj_Final; t[0,1] t=0 t=1 t=0.75 t=0.4 t=0.2 t=0.3

Aplicação (transição entre objectos) E se tivermos Objecto(t) = (1-t^2)*Obj_Inicial + t^2*Obj_Final; t[0,1] Qual o efeito, na animação? (em ter (t), (t^2), t^0.5) t=0 t=1 t=0.75 t=0.4 t=0.2 t=0.3 Programa Deformação….

Teorema de Bolzano… Zeros com variação de sinal f(B) f(A) X Normalmente os softwares de visualização utilizam o Corolário T. Bolzano, para determinar os zeros de uma função!!!, A B f(B) f(A) Mas nas situações onde não existe variação de sinal!!!!!

(y-x).((x-2.2)2+(y-2.2)2).((x+2.8)2+(y-2.2)2-0.3)2=0 Teorema de Bolzano… Zeros com e sem variação de sinal - + F(t)=f o r(t) [0,1] Componente com variação de sinal de f Componente sem variação de sinal de f (y-x).((x-2.2)2+(y-2.2)2).((x+2.8)2+(y-2.2)2-0.3)2=0

Trabalhando com outras forças!!!!

Funções… Como poderemos contribuir para melhorar os sistemas gráficos? F(t)=f o r(t) - Não basear o cálculo dos zeros na variação de sinal - Aritmética intervalar ? - D’f como determina? a b Y X - Aritmética Afim ?

… “Se é verdade que as funções com derivada são as mais simples, as mais fáceis de tratar, também é verdade que elas são as excepções, e não a regra. Ou, se se preferir uma linguagem geométrica, as curvas que não possuem tangente são a regra, enquanto as curvas regulares, como a circunferência, são casos, apesar de interessantes, muito particulares.” Repare-se nesta fotografia: onde os ovos com cascas lisas são os mais raros! No entanto são os mais conhecidos pela sociedade em geral! http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/fmorgado/Implicitas/ImplicitasModelacao.htm

Cálculo com intervalos… Aritmética intervalar: foi introduzida por R. Moore em 1966 no contexto de investigação matemática, sendo aplicada na representação de curvas, determinação de zeros,… A aritmética intervalar consiste num conjunto de operações simples sobre intervalos, nomeadamente: Adição: [a,b]+[c,d] = [a+c,b+d] Subtração: [a,b]-[c,d] = [a-d,b-c] Produto: [a,b]*[c,d] = [min(ac,ad,bc,bd), max(ac,ad,bc,bd)] Divisão: [a,b]/[c,d] = [a,b]*[1/d,1/c] - Considerar a função f(x,y) = x*y+y <=> f(x,y) = y(x+1)

Subdivisão regular… “Dividir para conquistar” Desafio, encontrar uma função que dê a: Reunião de duas ou mais funções Intersecção de duas ou mais funções

Outro tipo de partição… “Se A,B  C então existe grande probabilidade de existirem mais pontos pontos da curva (C ) entre A e B.” l1 l3 l2 l6 l5 l7 l4 (d) Terceira partição Ω (a) Subespaço inicial e a árvore Ω- (b) Primeira partição Ω+ Ω l1 (c) Segunda partição l1 l3 l2

Exemplos (2x2+y2+z2-1)3-(1/10)x2z3-y2z3 = 0

Números complexos… Uma possível aplicação dos complexos, pode ser nas transformações geométricas…. Usadas nos jogos de computadores, onde o utilizador têm de rodar, ampliar, movimentar-se Z = ρcis(φ) Zα = 1cis(α) Zβ = 1cis(β) Z’ = Z*Zα*Zβ = ρcis(φ + α + β) ; Rotação Z = ρcis(φ)  Conjugado(Z) = ρcis(-φ) Simetria XX Z = ρcis(φ)  Z^n = Z; Quantas rotações preciso de fazer para voltar ao estado inicial ?

Alguns desafios Encontrar uma “teoria” que permita determinar todos os zeros de uma função, sem usar “pré-requisitos”. Representar várias dimensões…(x,y,z,estado emocional, altura pessoa, etc) Propor um modelo de reformas que seja sustentável…, talvez usar eq. vectorial da recta???