Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo Vitor Maló Machado I. S. T., Maio de 2011

Motivação A motivação para a adopção do método das diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) é o tratamento numérico de problemas de propagação e radiação de ondas electromagnéticas. No domínio da frequência têm sido adoptados métodos híbridos conjugando o FEM com o BEM, o método dos momentos com uso de uma formulação integral ou métodos de raiz analítica com o desenvolvimento dos campos em termos de funções próprias (decomposição modal). Para todos estes métodos a solução é encontrada após a resolução de um sistema de equações que para problemas 3D pode vir a ter uma dimensão incomportável. A construção de um esquema de diferenças centrais mas na óptica de um método de integração explícito, permite a construção da solução, directamente para o campo electromagnético, para um dado instante e num dado ponto, à custa dos valores do campo em passos temporais anteriores e em pontos adjacentes. O problema é tratado no domínio do tempo mas não necessita de resolução de qualquer sistema de equações! O problema é tratado como um problema de condições iniciais.

Inconvenientes A consideração de malhas com células cúbicas (igual incremento D nas três direcções espaciais - o que constitui o ponto de partida de qualquer desenvolvimento do método) pode tornar o método desadequado para a eficaz modelização das fronteiras e dos dispositivos em presença (dieléctricos, condutores, etc.). O tratamento de problemas de radiação electromagnética em regiões abertas. Tal como para o FEM, é impossível levar a discretização espacial até ao infinito. A consideração de métodos híbridos pode tornar-se complexa tendo em conta que são necessárias funções de Green para o campo electromagnético no domínio do tempo. Ter em conta os necessários critérios de convergência e estabilidade na definição dos incrementos espaciais e passos temporais. As grandezas primárias são as componentes dos campos E e H.

Algoritmo de Yee (K. S. Yee, “Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in Isotropic Media”, IEEE Trans. On Antennas and Propagation, Vol. 14, nº3, May 1966, pp. 302-307. Equações de Maxwell Discretização espacial e temporal : Operadores diferenciais espacial e temporal

Cubo de Yee Tendo em conta o cubo de Yee podemos obter o seguinte esquema explícito

Convergência e Estabilidade A. Taflove, M Convergência e Estabilidade A. Taflove, M. Brodwin, “Numerical Solution of Steady-State Electromagnetic Scattering Problems Using the Time-Dependent Maxwell’s Equations”, IEEE Trans. On Microwave Theory and Techniques, Vol. 23, nº 8, August 1975, pp. 623-630. O incremento espacial D deve ser tomado muito menor que o mínimo comprimento de onda em presença. A estabilidade do método é assegurada se o passo temporal for escolhido de tal modo que onde vmax é a máxima velocidade de fase expectável dentro do domínio espacial.

Condições de Fronteira Absorventes G Condições de Fronteira Absorventes G. Mur, “Absorbing Boundary Conditions for the Finite-Difference Approximation of the Time-Domain Electromagnetic-Field Equations”, IEEE trans. on EMC, Vol. 23, nº 4, Nov. 1981, pp. 377-382. Para uma onda plana com E segundo z, H segundo y, propagando-se no sentido negativo do eixo dos xx

Propagação com ângulo de incidência diferente de 90º Cada componente do campo eléctrico satisfaz a equação cuja solução em planos normais ao eixo dos xx pode ser escrita na forma A condição de Engquist e Majda pode então ser generalizada Aproximação de 1ª ordem:

Aproximação de 2ª ordem: obtendo-se

PML (Perfectly Matched Layer) J. P PML (Perfectly Matched Layer) J. P. Berenger, “A Perfectly Matched Layer for the Absortion of Electromagnetic Waves”, J. Comp. Physics, Vol. 114, 1994, pp. 185-200. Adaptação de uma parede para o modo TE a 2D (meio aborvente) – formulação no domínio da frequência: A impedância característica é

A PML como Meio Anisotrópico Duas condições são agora introduzidas: o meio é anisotrópico no que se refere ás condutividades eléctricas e magnéticas e a componente axial Hz é separada em duas subcompnentes Hzx e Hzy – formulação no domínio do tempo:

Propriedades