Introdução aos Sistemas Dinâmicos Ensino Superior Introdução aos Sistemas Dinâmicos 4 – Sistemas de Controle Amintas Paiva Afonso

Modelagem de Sistemas Objetivos Sistemas estudados Construir modelos matemáticos para descrever sistemas simples. Sistemas estudados Sistemas mecânicos Sistemas elétricos Sistemas fluídicos Sistemas térmicos

Sistemas de Controle Para controlar é preciso conhecer!! Entretanto, faz parte do desafio controlar sistemas mal conhecidos. “Para controlar é necessario “conhecer” o desconhecido” Um modelo é necessário – Muitas vezes são complexos e interligados. Exemplo: Controle de tráfego, processos químicos, sistemas robóticos, úteis e interessantes ligados à automacão industrial.

Sistemas de Controle Base para Análise de um Sistema: Fundamentos da teoria de sistemas lineares. Relação de causa e efeito. Relacão de entradas e saídas representa esta relacão. Processamento de um sinal de entrada para fornecer um sinal de saída.

Sistemas de Controle Modelo Matemático: É a descricão matemática das características dinâmicas de um sistema; Um sistema é um conjunto de expressões matemáticas que determinam o valor de sinais saída a partir de um valor de sinal de entrada; Blocos são utilizados para representar sistemas; Em engenharia, tais blocos representam equações diferenciais (ou recursivas) lineares;

Sistemas de Controle Sistemas Lineares: São aqueles nos quais as equações do modelo são lineares; Uma equação diferencial é linear se os coeficientes são constantes ou apenas funções da variável independente; Princípio da superposição: a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas forças de excitação diferentes e igual à soma das duas respostas individuais; Em uma investigação experimental de um sistema dinâmico, se a causa e o efeito são proporcionais, considera-se o sistema linear.

Sistemas de Controle Se um sistema tem a resposta Y1 para uma entrada X1 e uma resposta Y2 para uma entrada X2, então, se tiver uma entrada X3 = X1 + X2 terá uma resposta Y3 = Y1 + Y2 f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2)

Sistemas de Controle Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT): Sistemas lineares descritos por equacões diferenciais com coeficientes constantes; A invariância no tempo implica simplesmente que a definição das operações dos blocos não pode mudar ao longo do tempo; Suas expressões dependem somente das entradas, não depende do tempo; “Reage sempre da mesma maneira”

Sistemas de Controle Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):

Modelos Matemáticos Transformada de Laplace: Como vimos no exemplo anterior, o comportamento da maioria dos sistemas físicos podem ser representados através de equações diferenciais; A transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo f(t) numa função F(s), onde S = σ + jw (variável complexa).

Modelos Matemáticos L [f(t)]= Transformada de Laplace f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0 s = uma variável complexa L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace F(s) = transformada de Laplace de f(t) Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por: L [f(t)]=

Transformada de Laplace Ex: y(t) = cos(wt) – sen (wt)

Modelos Matemáticos Funcão de Transferência: Na teoria de controle “Funcões de transferência” são extremamente usadas para caracterizar as relações entrada-saída de sistemas lineares invariáveis no tempo; E a relação da transformada de Laplace da saída (função resposta) para a transformada de Laplace da entrada (função excitação);

Modelos Matemáticos Funcão de Transferência: Considere o sistema linear invariante no tempo, definido pela seguinte equacao diferencial, onde y e sua saida e x sua entrada:

Modelos Matemáticos Funcão de Transferência:

G(s) = Y(s) / X(s)  Y(s) = G(s).X(s) Modelos Matemáticos Funcão de Transferência G(S): G(s) = Y(s) / X(s)  Y(s) = G(s).X(s) X(S) – Transformada de Laplace da entrada. Y(S) – Transformada de Laplace da saída.

Sistemas de Controle Sistemas Mecânicos As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos são as leis de Newton: 1ª Lei: Todo corpo em repouso ou em movimento tende a manter o seu estado inicial. 2ª Lei: A resultante das forças que agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração. 3ª Lei: Para toda força aplicada existe outra de igual módulo e direção, mas com sentido oposto.

Sistemas Mecânicos Sistema massa-mola-amortecedor:

Sistemas Mecânicos Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos Exemplo: Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa:

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa: Um quilograma é uma unidade de massa. Quando é acionado por uma força de 1N a massa de 1 kg acelera com 1m/s2. Aplicando a lei de Newton, temos:

Sistemas Mecânicos Sistema se suspensão de um automóvel:

Sistemas Mecânicos Encontre a função de transferência do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) no mesmo. k b u(t) x(t) m

Sistemas Mecânicos Resolução: Primeiramente, determinamos quais forças atuam no sistema: k b u(t) x(t) m Fm Fb Em seguida, faça o balanço das forças que agem sobre o carrinho: F = u(t) – Fm – Fb

Sistemas Mecânicos ... Continuação Sabemos que a força da mola é dada em função de quanto ela foi distendida, ou seja Fm = k.x(t), e que o amortecimento gerado pelo amortecedor é função da velocidade do bloco, ou seja Fb = b.v(t). Sabemos também, pela segunda lei de Newton, que a resultante das forças é igual à multiplicação da massa pela aceleração, ou seja F = m.a. Assim, a equação fica: m.a = u(t) – k.x(t) – b.v(t) Colocando tudo em função da posição x(t):

Sistemas Mecânicos ... Continuação Fazendo a Transformada de Laplace da equação obtida, obtemos: : Finalizando, considerando que as condições iniciais do problema são iguais a zero, a função de transferência do sistema massa-mola (relação entre a saída e a entrada do sistema) será dada por:

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos

Sistemas Elétricos Sistemas Elétricos As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são: - Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das correntes que entram em um nó é igual a zero e a das tensões diz que a soma das quedas de tensão dentro de uma malha é igual a zero. - Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.

Sistemas Elétricos Componentes: Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica por seus terminais. Capacitor: Acumula elétrons (corrente) entre suas placas. Indutor: Acumula tensão entre seus terminais em forma de campo eletromagnético. i(t) vR(t) vC(t) i(t) i(t) vL(t)

Sistemas Elétricos Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC abaixo. L R C ei eo i

Sistemas Elétricos Resolução: Pela lei de kirchoff das quedas de tensão: L R C ei eo i vL vR vC ei = vL + vR + vC eo = vC Devemos colocar os valores em termos da corrente i:

Sistemas Elétricos Aplicando a Transformada de Laplace nas equações encontradas, obtemos: A equação de transferência do sistema é a relação entre a saída (Eo) e a entrada do sistema (Ei). Portanto, dividindo as equações uma pela outra:

Sistemas Elétricos

Sistemas Mecânicos Exercícios: 1) Encontre a função x(t) do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) igual a um degrau unitário. Dados: m = 1kg, b = 4, k = 3 k b u(t) x(t) m

Sistemas Elétricos 2) Encontre a função eo(t) do circuito abaixo, quando aplicada uma tensão ei(t) igual a um degrau unitário. Dados: L = 1 H, R = 2 Ohms, C = 1 F L R C ei eo i

Sistema Mecânico e Sistema Elétrico

Sistemas Elétricos

Sistema Fluídico – Nível Líquido

Sistema Fluídico – Nível Líquido

Sistema Fluídico 1

Sistema Fluídico 2

Sistema Térmico

Sistema Fluídico – Sistema Térmico