Seminário Fora de Área Miguel Quartin Abril 2005 Cinética Fracionária Seminário Fora de Área Miguel Quartin Abril 2005

Resumo Motivação Cinética Não-Fracionária Cinética Fracionária Lei de Fick da Difusão e Cam. Aleatória (RW) Teoria de Langevin Eq. de Fokker-Planck Cinética Fracionária Cálculo Fracionário Cam. Aleatória de Tempo Contínuo (CTRW) Eq. de Fokker-Planck Fracionária (FFPE) Outro Exemplo Físico Conclusões Referências

Motivação As leis convencionais que governam a difusão prevêem que o deslocamento médio quadrático r2(t) de partículas imersas em um fluido é dado pela lei de escala: Diversos sistemas físicos, no entanto, violam essa lei de escala. Alguns exemplos são encontrados em: Passagem de moléculas de ssDNA curtas (até 300 nucleotídeos) por membranas; Transporte dispersivo em semicondutores amorfos; Dinâmicas de uma conta em uma rede de polímeros; Ótica quântica; Nestes sistemas, vale:

A Lei de Fick (1855) Teoria fenomenológica da difusão. Premissa básica: a difusão equilibra as concentrações. Análoga à Lei de Ohm e à Lei de Fourier do fluxo de calor Se a condição inicial for Então

A Teoria de Einstein-Smoluchowski (1-D) Hipótese: a cada impacto (que ocorre, em média, após um tempo ) a partícula dá um salto de x=±L (magnitude constante) A probabilidade da partícula se encontrar em m (:= x / L) após n (:= t / ) saltos sucessivos é dada por:

A Teoria de Einstein-Smoluchowski (1-D) Se n  1 (t  ), podemos usar a aprox. de Stirling: Logo, onde Hip. Ergódica Compare com a eq.

Teoria de Langevin (1906) As forças que atuam sobre uma partícula browniana “livre” podem ser decompostas em duas partes Se mostra então que, para t M Se uma partícula de massa pequena estiver sujeita a uma força adicional f(r,t), então: Comparando com a eq. obtida pela Lei de Fick, deduzimos que Relação de Einstein

A Eq. de Fokker-Planck (1913) Simplificação da Equação Mestra para o caso de uma partícula cuja massa é muito maior que a massa das moléculas com as quais colide Considera tanto os impactos descorrelacionados das moléculas como forças externas determinísticas. - j(r,t )

Cálculo Fracionário É desenvolvido há mais de 300 anos por, dentre outros: Laplace, Riemann, Liouville, Heaviside e Erdélyi; Até a década de 90  restrito ao campo da matemática; Recentemente  usado para descrever processos físicos, como difusão (lenta) anômala. (Ex.: r2(t)  t ) Podemos generalizar a eq. acima para a chamada derivada de Riemann-Liouville

Cálculo Fracionário Um modo mais elegante de introduzir derivadas fracionárias é através da identidade integral: A limite inferior A é arbitrário. Normalmente, escolhe-se A = 0 ou A = -. Esta liberdade de definição é vantajosa e permite uma informação física adicional.

Cálculo Fracionário Propriedades interessantes: Estamos interessados em A = 0 e 0 <  < 1

Cam. Aleatórias de Tempo Contínuo (CTRW) Caminhadas aleatórias e difusão servem de interface entre cinética e o cálculo fracionário. RW é o modelo mais simples que leva à eq. de difusão. Nas CTRW, a condição de constância temporal dos passos é retirada. Os intervalos são descritos por uma função de espera (t). Esta função pode ser fruto de obstáculos e armadilhas que atrasam o movimento da partícula. Se o tempo médio de espera  for finito, a Lei de Fick é re-obtida  não nos interessa Se   , a situação muda drasticamente

Cam. Aleatórias de Tempo Contínuo (CTRW) Funções de espera mais utilizadas (0 <  < 1):  < 1  sub-difusão  > 1  super-difusão Pelos mesmos argumentos da teoria de Einstein-Smoluchowski, pode se mostrar que neste caso

t t P(x, t = ) P(x, t = ) x x

Cam. Aleatórias de Tempo Contínuo (CTRW) Rede de percolação tipo “queijo suíço”. Exemplo de sistema onde a difusão é caracterizada por uma CTRW. As partículas ficam presas por algum tempo nos poros (zonas escuras) até voltarem ao fluxo nas “espinhas dorsais” (zonas claras).

A Eq. de Fokker-Planck Fracionária Uma generalização da Lei de Fick consistente com a eq. r2(t)  t  é dada por: Analogamente, podemos generalizar a eq. de Fokker-Planck para: Vantagens sobre a abordagem de CTRW: Torna possível a análise de transporte no espaço de fase; Inclusão de campos externos é imediata.

FFPE em Potenciais Harmônicos Exemplo: difusão em 1-D em um potencial harmônico U(x) = bx2/2 (processo de Ornstein-Uhlenbeck). A tática para a resolução desta equação é aplicar uma Transf. de Fourier em x, seguida de uma Transf. de Laplace em t. Para tal, é necessário introduzir a função de Mittag-Leffler E:

Característica típica de CTRW “largas”

Note a escala logarítmica!

FFPE em Potenciais Harmônicos A eq. de Fokker-Planck tradicional implica em: A FFPE implica em: 1 2 3 4 5 t 0.5 1.5 < x > FPE FFPE

Outro Exemplo Físico Rede de resistores e capacitores Rede de contas e molas em meio viscoso

Conclusões FFPE permite modelar sistemas que apresentam sub-difusão de um modo simples e elegante; A abordagem fracionária é de certo modo equivalente à da generalização da Equação Mestra, mas permite de forma imediata: Inclusão de campos externos; Resolução de problemas de valores de contorno; FFPE possui vantagens sobre modelos de RW; O cálculo fracionário é aplicável a uma razoável diversidade de sistemas físicos.

Referências I. Sokolov, J. Klafter, A. Blumen, Physics Today, vol. 55, n. 11, pág. 48 (2002) R. Pathria, Statistical Mechanics, Pergamon R. Metzler, J. Klafter, Phys. Rep., 339, 1 (2000) R. Metzler, J. Klafter, arXiv:cond-mat/0306599 v1 (2003) Eric W. Weisstein. "Mittag-Leffler Function." From MathWorld -- A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Mittag-LefflerFunction.html W. Schneider, W. Wyss, J. Math. Phys. 30, 134 (1989)