Imagem Digital Conceitos, Processamento e Análise Parte 1: Conceitos básicos Imagem e funções Imagem digital: amostragem, quantização e codificação Re-amostragem de funções Séries e Transformadas de Fourier e de Cosseno Teorema de Nyquist e Alias

Imagem: Modelo Matemático: Função 0% 20% 40% 60% 80% 100% Níveis de cinza Posição ao longo da linha x u v L L(u,v) Função

Imagem colorida u v G R B

Imagem coloridas como 3 canais de cor B B(u,v) R(u,v) G(u,v) v v v u u u = + +

Amostragem, quantização e codificação Imagem Digital Amostragem, quantização e codificação

Amostragem, quantização e codificação de f(x) partição do eixo x x

Amostragem, quantização e codificação de f(x) 6 amostra quantizada  5 4 3 2 1 x codificação = (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2)

Digitalização de Imagens Discretização espacial (amostragem)

quantizada e codificada Processos básicos 64x54 Imagem amostrada amostragem Imagem de tons contínuos 64x54 - 16 cores Imagem amostrada e quantizada quantização 55 20 22 23 45 10 09 11 43 42 70 28 76 codificação 8*55, 1*20, 1*22, 1*23, …. Imagem amostrada, quantizada e codificada

Imagem Digital: Histogramas Uma outra maneira de ver a informação da imagem: probabilidade de ocorrência de um determinado valor, uso do intervalo [0,255], contraste,...

Histogramas de Imagem Colorida

Propriedades básicas de uma Imagem Digital

Problemas associados a re-amostragem de um sinal digital f(x) 6 função original     5 função reconstruída pelo vizinho mais próximo função reconstruída por interpolação linear    4   3     2 1 x (a) aumento de resolução

Re-amostragem de f(x) (b) redução de resolução f(x)          6 função original     5    4   3    2 função reconstruída pelo vizinho mais próximo  função reconstruída por interpolação linear 1 x (b) redução de resolução

Freqüência de Amostragem f(x) x x f(x)

Estudo de sinais digitais Transformadas para o domínio da freqüencia Teorema de Nyquist e Alias

revisão Harmônicos T A t+ -A A

Integrais de senos e cosenos em [-,] revisão cos(nx) sin(nx) n = 1 n = 2 Áreas se compensam. Integrais resultam em 0. sin(nx)cos(nx)

Integrais de senos e cosenos em [-,] revisão Integrais de senos e cosenos em [-,] Funções ortogonais

Série de Fourier f(t) t T Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) T Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

Exemplo: Série de harmônicos

Série de Fourier: cálculo de a0 f(t) t T

Série de Fourier: an e bn f(t) t T ...

Resumindo f(t) t T

Domínios f(t) tempo ou espaço t T ak w bk freqüencia w

Coeficientes de funções pares e ímpares f-ímpar ak= 0 f-par bk= 0

Periodicidade da Série de Fourier f(t) t T t f(t) T

Números complexos x é a parte real y é a parte imaginária revisão eixo imagnário x é a parte real y é a parte imaginária A é a magnitude q é a fase y A q eixo real x

Operação básicas com complexos revisão Operação básicas com complexos

revisão Derivada de eit C.Q.D.

Outras propriedades úteis revisão i -1 1

Outras propriedades úteis (2) revisão 1 -1 i -i o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüências w e -w

Outras propriedades úteis (2) revisão 1 -1 i -i o seno também corresponde a dois harmônicos: w e -w

Outras propriedades úteis (3) revisão

Amplitude e fase de complexos revisão Amplitude e fase de complexos Dado um valor: Amplitude  -A A Fase

Série de Fourier com números complexos

Escrevendo em complexos

Serie de Fourier de Sinais Discretos

Sinal discreto r t 1 2 3 4 5 6 N-1

1 2 3 4 5 N t . . .

onde: onde:

onde: onde:

Inversa da inversa onde: Qual o valor?

Se s=k Se s ≠ k é a soma de uma PG de N termos e razão q. Mas

onde: Qual o valor? C.Q.D.

real imaginário  1 N=5 N=3 N=6 N=4

Transformada Discreta T - não é o período do sinal!

Transformada Discreta de Fourier todas as feqüências computadas são multiplas destas

Outro exemplo f3 ( t ) := 10 cos ( 2 p t ) + 6 sin ( 10 p t ) + .8 cos 40 p t )

Transformada

Eixo de freqüência

Tutorial com o Excel http://www.me.psu.edu/me82/Learning/FFT/FFT.html

Discrete Cosine Transformation (DCT)

o cosseno pode substituir o seno

Transformada de Fourier

Exemplo 1: Função caixa (box) f(x) a x b

Transformada da função box f(x) a x b F(w)  1/b 2/b 3/b -1/b -2/b -3/b ab sinc(bw) w

Distribuição normal: Gaussiana

Exemplo 2: Gaussiana || F(w) || f(x) w x

Transformada da Gaussiana

Exemplo 3: Delta de Dirac f(x) 1/b -b/2 b/2 x

Delta de Dirac de Gaussianas

Transformada do Delta de Dirac f(x) (x) x || F(w) || w 1

Transformada do cosseno x

Exemplo 4: Cosseno || F(w) || x w

Exemplo 5: Sequência de impulsos f(x) || F(w) || 1/b 2/b -1/b -2/b x -2b -1b 1b 2b 3b w f(x) || F(w) || w 1/b 2/b -1/b -2/b x 1b 2b 3b -1b -2b

Pares importantes

Propriedades da transformada convolução

Convolução

Convolution Pictorially f(x) h(x)

Convolution h(t-x) f(t) x

Convolution Consider the function (box filter):

Convolution This function windows our function f(x). f(t)

Convolution This function windows our function f(x). f(t)

Convolution This function windows our function f(x). f(t)

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Convolution This particular convolution smooths out some of the high frequencies in f(x). f(t) f(x)g(x)

Ilustação da convolução

Ilustração da convolução

Sinal sub-amostrado

Amostragem e Reconstrução Observando os domínio do espaço e das freqüências

Sinal original domínio do espaço domínio das freqüências

Sinal discretizado

Amostragem domínio do espaço domínio das freqüências produto convolução

Sinal discretizado domínio do espaço domínio das freqüências

Reconstrução domínio do espaço domínio das freqüências convolução produto

Retorno ao sinal original domínio do espaço domínio das freqüências

Sinal original com mais altas freqüências domínio do espaço domínio das freqüências

Mesma taxa de amostragem domínio do espaço domínio das freqüências produto convolução

Sinal amostrado Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos! domínio do espaço domínio das freqüências Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!

Teorema de Nyquist Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist. Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.

Aliasing Esta mistura de espectros é chamada de aliasing. Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing. Passar um filtro passa-baixa no sinal. Aumentar a freqüência de amostragem.

Alias                                                                                                                                                            Texture errors