ANÁLISE DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA Objetivos: Discutir em detalhe o problema da seleção de um passo de tempo apropriado t para integração direta. Analisar os conceitos fundamentais de estabilidade e exatidão dos esquemas de integração. Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Introdução Se as n equações são integradas com o mesmo passo do tempo Dt, a análise de sobreposição modal é equivalente à análise de integração direta onde o mesmo esquema de integração e passo é usado. A seleção de um passo de tempo apropriado nos métodos de integração é vital para garantir estabilidade e exatidão. A despeito da mudança de base no método de sobreposição modal, a solução é também obtida por integração numérica. Para estudar a exatidão da integração direta, presta-se atenção na integração das eqs. (a.1) e não mais na eq. original, com um passo de tempo comum. (a.1) Assumindo amortecimento proporcional,  é matriz diagonal, =diag(2ii), e i é a ração de amortecimento no i-ésimo modo. As variáveis na estabilidade e exatidão no método de integração direta são agora Dt, i e i (i=1,..,n). A eq. (a.1) envolve n equações desacopladas, a ser resolvida com a integral de Duhamel ou com um dos esquemas de integração numérica. Como as n equações são similares, estuda-se só a integração de uma fila (sistema 1GDL com período de vibração livre T, ração amortecimento  e carga r) : Como os períodos de vibração são conhecidos Ti=2/i (i=1,..,n), da para escolher na integração numérica de (1) um passo apropriado que garanta exatidão. Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Aproximação de integração direta e operadores de carga Método de diferença central Para o método de integração considerado, existe a relação recursiva: Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t; e escreve-se a eq. de equilíbrio no tempo t. Resolvendo desde a primeira para t+tx Obtém-se a solução em qualquer tempo t+nt de forma recursiva, Escrevendo na forma recursiva: relação a ser usada para estabilidade e exatidão dos métodos de integração. O método é bastante usado para =0. Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.) Método de Houbolt Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t+t com fórmulas de dois passos para atrás; e escreve-se a eq. de equilíbrio para t+ t. Resolvendo desde a primeira para t+tx, da para escrever de forma recursiva: Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.) Método  de Wilson (b.3) A aceleração varia linearmente no intervalo de tempo de t a t+ t, onde ≥1, usado para obter estabilidade e exatidão ótima. Fazendo = t nas equações (b.1) e colocada em (b.3), uma equação é obtida para a aceleração no tempo t+t, que lsubstituida em (b.2), a seguinte relação é estabelecida: Seja  o incremento no tempo desde o tempo t, onde t≤ ≤ t, logo para o intervalo t a t+ t tem-se: (b.1) No tempo t+t tem-se (b.2) A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+ t, com uma carga extrapolada: Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.) Método de Newmark A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+t: (b.4) A velocidade e deslocamento resultam de: (b.5) onde  e  são parâmetros a serem escolhidos para obter estabilidade e exatidão ótima, sendo que para estabilidade incondicional =1/2 e =1/4. Substituindo (b.5) em (b.4) obtém-se a aceleração no tempo t+t, que logo é colocada em (b.5) para obter a velocidade e descolamento no tempo t+t, resultando: Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Análise de estabilidade (cont.) Sendo Tn o menor período estima-se que t ≤Tn/10. A idealização de elementos finitos deve ser escolhida de forma que as p menores freqüências e modos sejam preditas exatamente, onde p é determinado pela distribuição e freqüência da carga. Então t ≤Tp/10. Percebe-se que na integração direta a resposta nos modos elevados é automaticamente integrada com esse t. Como não se pode integrar exatamente a resposta nos modos para o qual t ≥T/2. Qué resposta é predita na integração numérica quando t/T é grande? (questão de estabilidade da integração numérica) Estabilidade de um método de integração significa que as C.I. físicas para as equações com elevado t/T não pode ser amplificado artificialmente. Estabilidade significa que as C.I. no tempo t causada por erros nos deslocamentos, velocidades e acelerações, devidos a erros de arredondamento no computador, não crescem na integração. A estabilidade é assegurada se o passo do tempo é pequeno o suficiente para integrar exatamente a resposta nos componentes de altas freqüências. A estabilidade de um método de integração é determinada examinando o comportamento da solução numérica para condições iniciais arbitrárias. Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Análise de estabilidade (cont.) J não é necessariamente uma matriz diagonal mas pode exibir elementos unitários na linha superdiagonal (correspondente a autovalores múltiplos) Quando nenhuma carga é satisfeita, r=0, a solução para C.I. prescritas é: Um método de integração é estável incondicionalmente se a solução para toda C.I. não cresce sem limite para qualquer t, em particular quando t/T é grande. O método é condicionalmente estável se o dito é mantido previsto que t/T seja menor ou igual a um certo valor, denominado o limite da estabilidade. Seja (A) o raio espectral A definido por: onde o sinal do valor absoluto precisa a avaliação de i no plano complexo. O critério de estabilidade menciona que: 1. Se os autovalores são distintos, (A) ≤1 2. Se A contem autovalores múltiplos, o módulo desses autovalores será ≤1. Usando a decomposição espectral de A: Se (A)<1, Jn→0 e An→0, e a diminuição em An é mais rápido se (A) é pequeno. P: matriz de autovetores de A J: forma canônica de Jordan de A, com autovalores i de A na sua diagonal Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Análise de estabilidade (cont.) Os autovalores são as raízes do polinômio característico p(l): O raio espectral e portanto a estabilidade do método depende da relação do tempo t/T, da relação de amortecimento  e dos parâmetros de integração. Para t/T e  dados, é possível que nos métodos de  Wilson e Newmark se varie os parâmetros  e a, d para obter estabilidade e exatidão ótimas. Para estabilidade precisa-se que |l1,l2|≤1, ou seja (A) ≤1, e esta da a condição t/T≤1/. Exemplo Então, o método de diferença central é estável previsto que t≤ tcr, sendo que tcr=Tn/ . Análise de estabilidade do método de diferença central para =0,0. Observa-se que o limite de estabilidade para o mesmo passo de tempo é também aplicável quando >0. O problema de autovalor a ser resolvido é: Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Análise de estabilidade (cont.) A estabilidade dos métodos de integração é efetuada com os operadores de aproximação, onde o método de diferença central é condicionalmente estável. Para avaliar um valor ótimo de  para o método  de Wilson, calcula-se a variação do raio espectral do operador de aproximação como função de , (estabilidade incondicional para ≥1,37). Raio espectral de operadores de aproximação, caso =0 Raio espectral (A) função de  no método Wilson  No método de Newmark os parâmetros a e d podem ser modificados para obter estabilidade e exatidão ótima, estabilidade incondicional para d≥0,5 e a≥0,25(d+0,5)2. O analista deve escolher certo método, influenciado pelas características de exatidão do método para certo t. Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Análise de exatidão Considera-se para uma análise de exatidão simples a solução do problema de valor inicial com solução exata x=cost: O custo de usar um certo método de integração depende do número de passos. Nos métodos explícitos o passo fica definido pelo tcr.. Nos métodos implícitos o passo deve gerar uma solução exata. Como a integração direta das equações, No método de Houbolt as C.I. de deslocamento exato para tx e 2tx através da solução x=cost são empregadas. é equivalente a integrar simultaneamente as n equações desacopladas da forma, Os erros nas integrações são avaliados em termos do alongamento do período PE e do decremento da amplitude AD. da para estudar a exatidão da integração nestas como função de t/T,  e r. A solução destas equações é, usada para avaliar os erros da integração. Análise dos métodos de integração direta

Análise dos métodos de integração direta Análise de exatidão (cont.) As equações onde t/T é pequeno são integradas exatamente, mas quando t/T é grande a resposta é obtida sem precisão. Os desenhos mostram os percentuais de PE e AD como função de t/T obtidas ao comparar a solução numérica com a exata. Nos métodos explícitos o passo deve ser escolhido de forma que t≤ tcr, mas só quando a carga ou as CI excitam as altas freqüências deve ser usado t≤ tcr.. Nos métodos implícitos o t pode ser muito maior mas pequeno o suficiente de forma que a resposta nos modos que contribuam significativamente à resposta seja calculada exatamente. Alongamento do período e diminuição da amplitude percentual As integrações numéricas usando qualquer método são exatas quando t/T≤0,01. Para valores superiores o método de  Wilson introduz menor PE e AD que o método de Houbolt, e Newmark introduz só PE. Análise dos métodos de integração direta