Aula Teorica 9 RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA Diagrama Polar Criterio de Estabilidade de Nyquist

Conceito de resposta de freqüência: É a resposta em estado estacionário de um sistema quando se estimula com uma entrada sinusoidal cuja freqüência varia de zero até infinito. y(t) Sistema linear x(t) Se Então:

PODE-SE DEMONSTRAR QUE: SUBSTITUINDO NA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA OBTÉM-SE A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA (PODE CONSULTÁ-LO EM LIVROS DE TEXTO) EXEMPLO Si Então

OBSERVE QUE É UM NUMERO COMPLEXO SE FOR ASSIM ENTÃO SE PODE REPRESENTAR

EXEMPLO

UMA VEZ QUE SE TEM A EXPRESSÃO MATEMÁTICA QUE REPRESENTA A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA Geralmente DESENHA-HE Diagramas de bode Diagramas polares UM DOIS MAGNITUDE(db) VS LOG(W) FASE VS LOG(W) MAGNITUDE E FASE COM A FREQÜÊNCIA VARIANDO ENTRE ZERO E INFINITO

A resposta de freqüência se apresenta em um solo gráfico;  fica implícita.

Exemplos

ESTE É O DIAGRAMA POLAR

Exercícios propostos

Critério de estabilidade do Nyquist

Primeiro achamos algumas considerações matemática O critério do Nyquist se apóia no Teorema de transformação de trajetórias no plano complexo: Suponha que temos três planos

Suponha que temos uma função de tranferencia e que S=j (0;j1) A B C Observar que um ponto no plano S, significa um ponto no plano GH e também no plano 1+GH

Da mesma forma que um contorno fechado no plano S que não passa por nenhum ponto singular do GH ou de 1+GH, este dará um contorno fechado nestes. Com um contorno em S haverá um só contorno no GH ou em 1+GH ? NÃO pode-se demonstrar (Não é objetivo fazê-lo aqui) O número de voltas à origem no plano 1+GH é igual à diferença de zeros e pólos da função de transferência de laço fechado dentro do contorno que achamos feito no plano S

SE FORMOS ANALISAR A ESTABILIDADE DOS SISTEMAS . Que contorno vocês acreditam que tenha estabelecido nyquist sobre o plano s? Onde nos interessa saber se houver raizes da equação caracteristica (1+GH=0) para dizer se o sistema é instável?

uma trajetória no Plano s, que abrange todo o semiplano direito. Nyquist definiu uma trajetória no Plano s, que abrange todo o semiplano direito.  j  Seção II A trajetória do Nyquist abrange todos os pólos e zeros de 1+GH no semiplano direito. Seção I Seção III

N: # de voltas à origem no Plano 1+GH O critério do Nyquist estabelece O número de voltas à origem no Plano 1+GH é igual à diferença de zeros e pólos que se encontram dentro do contorno no Plano S N = Z - P N: # de voltas à origem no Plano 1+GH Z: # de zeros de 1+GH dentro do contorno do plano S P: # de pólos de 1+GH dentro do contorno do plano S Para que o sistema seja estável que valor deve tomar Z?

Então Se o 1+GH não tiver pólos edentro do contorno Se o 1+GH tiver K pólos edentro do contorno Isto quer dizer que ao percorrer o contorno do Nyquist no plano S , deve encerrar-se K vezes a origem no plano 1+GH no sentido antihorario Isto quer dizer que ao percorrer o contorno do Nyquist no plano S , NÃO deve encerrar a origem no plano 1+GH Para que o sistema seja estável

Agora bem Trabalhar no plano 1+GH é muito difícil Pergunto então Como deslocar todo este critério do Nyquist ao plano GH que se trabalha muito mais fácil e que nos permitirá, conhecendo a função de transferência de laço aberto, determinar a estabilidade do sistema em laço fechado?

Observem

N: # de voltas ao ponto no Plano GH Tudo o que se disse com respeito à origem quando trabalhamos com 1+GH agora é válido para o GH mas com respeito ao ponto Agora O critério do Nyquist estabelece O número de voltas ao ponto no Plano GH é igual à diferença de zeros e pólos que se encontram dentro do contorno no Plano S Mas N: # de voltas ao ponto no Plano GH Z: # de zeros de 1+GH dentro do contorno do plano S P: # de pólos de GH dentro do contorno do plano S

No caso que G(s)H(s) tenha pólos ou zeros sobre o eixo j, então terá que modificar a trajetória do Nyquist. Geralmente se deixam fora da trajetória os pólos e zeros que estão sobre o eixo imaginário. modifica-se a trajetória na origem e além das três anteriores aparece a secció IV secció IV Todo o resto é igual

EXEMPLOS Re =  0+ 0- Im X -1+j0 N=0 P=0 Z=0 Sistema estável

=0 =  K N=0 P=1 Z=1 Sistema inestável

=  =0+ =0- Re Im N=0 P=1 Z=1 Sistema inestável

Exercicios