A Transformada de Laplace O método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas. Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.

Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s . Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A   existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.

Exemplo 1: Seja f(t) = 1 / t , t  1, então Converge ? Logo a integral imprópria diverge. Exemplo 2: Seja f(t) = 1 / t 2 , t  2, então a integral

Temos que : Logo a integral dada converge para o valor ½ . Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t  a, se | f(t) |  g(t) quando t  M para alguma constante positiva M e se também converge. Por outro lado, se f(t)  g(t)  0 para t  M e se também diverge.

Teorema : (Existência da transformada de Laplace) Suponha que 1- f seja seccionalmente contínua no intervalo 0  t  A para qualquer A positivo; 2- | f(t) |  Keat quando t  M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L{f(t)} = F(s), definida pela equação L{f(t)} = F(s) = Existe para s > a. Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t  0. Então

Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t  0. Então Temos integrando por partes Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2), s > 0 Exemplo 5: Seja f(t) = eat, t  0, então

Existem 3 propriedades extremamente importantes nas transformadas , como: O sistema é linear, isto é, L(a f(t) + b g(t)) = a Lf(t) + b Lg(t) ; O sistema destrói derivadas, isto é, se f’(t) entra na caixa, ela sai como sF(s) – f(0); iii) O sistema é inversível, isto é, existe uma outra caixa, denominada L-1, que, se atravessada pela função de saída, F(s) fornece f(t) de volta, assim, L-1(F(t)) = f(t).

F(s) f(t) L af(t) + bf(t) aF(s) + bF(s) f’(t) sF(s) – f(0) f”(t) s 2F(s)-sf(0)-f’(0) Transformada de Laplace

Teorema: Suponha que f seja contínua e que f’ seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0  t  A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que | f(t)|  ke at para t  M. Então L{f’(t)} existe para s > a e, além disso, L{f’(t)} = sL{f(t)} = sL{f(t)} – f(0). Corolário: Suponha que as funções f, f’, f”, ..., f(n-1) sejam contínuas e que f(n) seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0  t  A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que | f(t)|  ke at , | f’(t)|  ke at ...| f(n-1)(t)|  ke at para t  M. Então L{f(n)(t)} existe para s > a e é dado por L{f(n)(t)} = snL{f(t)} – sn-1f(0) - ... - sf(n-2)(0) – f(n-1)(0).

Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x 2. Por definição e tabela de transformada, temos: F(s) = L(3 + 2x 2) = 3L(1) + 2L(x 2) = 3 (1 / s) + 2 (2 / s3) = = 3 /s + 4 / s 3. Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y” – y’ – 2y =0 com y(0) = 1, y’(0) = 0. Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e-t +1/3e2t usando equação característica. Usando transformada de Laplace, temos: L{y”} – L{y’} –2L{y} = 0, s2L{y} – sy(0) – y’(0) – [sL{y} – y(0)] – 2L(y) = 0

ou ( s2 – s – 2)Y(s) + (1-s)y(0) – y’(0) = 0 Y(s) = (s –1) / (s2 – s –2) = (s –1) / [(s – 2) (s +1)] que acaba chegando à mesma solução.

Exemplo 8: Usando a trsansformada de Laplace, resolva a equação y” – y’- 6 = 0, y(0) = 1, y’(0) = -1. Solução: L{y”} – L{y’} – 6L{y} = 0 s2L{y} – sy(0) – y’(0) – [sL{y} – y(0)] – 6L{y} = 0. Como L(y} = Y(s), temos: s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0 Y(s)(s2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0 Y(s) = (s –2) / (s2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2). Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s-3) + (4/5)/(s+2). Consultando a tabela de Laplace, temos Y(s) = (1/5)e3t + (4/5)e-2t = (1/5)(e3t + 4e -2t )

Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y’ + y = senx, y(0) = 1. Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s2 +1) sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s2 +1), Y(s)(s+1) = 1 + 1 / (s2 +1) Y(s) = 1/(s+1) + 1/ (s+1)(s2+1). Separando em frações, temos: 1/(s+1)(s2+1) = A/(s+1) + (Bs+C) / (s2+1) Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então Y(s) = 1/(s+1) + (1/2)/(s+1) – (½)(s/(s2+1)) + ½ (1/(s2+1)). Logo: y = (3/2)e –x –(1/2)cos(x) +(1/2)sen(x) = ½ ( 3e –x – cos(x) + sen(x))

Função Degrau : A função Degrau unitário, denotado por c, é definida por A função de Laplace de c é determinada por

y y = 1 - c 1 t c y y = c (t) 1 t c

Teorema: Se F(s) = L{f(t)} existe para s > a  0 e se c é uma constante positiva, então L{µc(t)f(t-c)} = e – cs L{f(t)} = e – cs F(s), s > a. Reciprocamente, se f(t) = L –1{F(s)}, então µc(t)f(t-c) = L –1{e – cs F(s)}. Teorema: Se F(s) = L{f(t)} existe para s > a  0 e se c é uma constante positiva, então L{ectf(t)} = F(s-c), s > a + c Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então ect = L –1 {f(s-c)}.

Exemplo 10: Usando a função Reescreva a função Assim podemos escrever f(t) = a(t)sen(t-a) ou

Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é f(t) 1 t 4 1 2 3 Neste caso, f é periódica com período 2, donde

Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = t 0  t < 1, f(t+1) = f(t). Integrando por partes, temos [1 –(1+s)e –s] / [s2 (1 – e-s)]

Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x)  E Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x)  E . A convolução de f(x) e g(x) é dada por Exemplo: Se f(x) = e 3x e g(x) = e 2x, então f(t) = e 3t e g(t) = e 2(x - t) e Teorema: Se L{f(x)} = F(s) e L{g(x)} = G(s), então L{f(x).g(x)} = L{f(x)}. L{g(x)} = F(s).G(s) podem ser escrita na forma L –1{F(s).G(s)} = f(x).g(x)