Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier Paulo Sérgio Rodrigues PEL205
Separabilidade Lembrando o par de Transformadas de Fourier
Separabilidade Ou, considerando M = N para simplificar ainda mais:
Separabilidade Expandindo e arrumando:
Separabilidade Da mesma forma, para a transformada inversa:
Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D
Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D
Translação Um “problema” para visualizar o espectro de Fourier de Uma função f(x,y) é o fato do pico mais alto ocorrer no eixo x = 0
Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização Pode ficar comprometida f(x,y) |F(u,v)|
Translação No entanto, pode-se provar que, para constantes u0, v0, x0, y0: e
Translação Mas, quando M = N e u0 = v0 = N/2 : Substituindo (2) em (1), concluímos que:
Translação Finalmente, baseado nos resultados dos slides 10 e 11: Conclusão: Para se deslocar o espectro de Fourier para o centro do sistema de coordenadas, basta multiplicar cada ponto (x,y) de sua inversa por -1 elevado a soma x + y
Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização é melhor claramente melhor |F(u,v)| sem Shift f(x,y) |F(u,v)| com Shift
Periodicidade e Simetria Conjugada A transformada de Fourier é periódica de período N; isto é:
Rotação Se introduzirmos coordenadas polares: Substituindo diretamente em f(x,y) e F(u,v), temos:
Rotação Exemplo de Rotação
Distributividade Uma vez que: A transformada de Fourier é DISTRIBUTIVA sobre ADIÇÃO Mas ... A transformada de Fourier NÃO é DISTRIBUTIVA sobre MULTIPLICAÇÃO
Escala Para dois escalares a e b
Valor Médio
Valor Médio
Resultados da Transformada de Fourier
Exemplo 1: Função caixa (box) f(x) a x b
Transformada da função box f(x) a x b F(w) 1/b 2/b 3/b -1/b -2/b -3/b ab sinc(bw) w
Distribuição normal: Gaussiana
Exemplo 2: Gaussiana || F(w) || f(x) w x
Transformada do Delta de Dirac f(x) (x) x || F(w) || w 1
Pares importantes
Propriedades da transformada
Descritores de Fourier
Descritores de Fourier
Descritores de Fourier