CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

A ideia de número positivo e número negativo Nossa sociedade é repleta de números. Em nosso dia a dia está envolvido muitos número tanto positivos, que já conhecemos e também, números negativos que vamos conhecer agora. Alguns exemplos são clássicos como o de temperatura. Ex: “Hoje a temperatura mínima será de 3 graus Celsius negativos ou -3 ºC” Temos também exemplo de saldo de gols negativo, dados de extratos bancários entre outros exemplos.

O conjunto dos números inteiros Nós já conhecemos do 6º ano o conjunto do números naturais ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou ℕ = {0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...} Observe agora o conjunto dos números inteiros negativos: {..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1} Reunindo os números naturais (ℕ) com os números inteiros negativos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que é representado assim: ℤ = {..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6 }

O conjunto dos números inteiros 1 2 3 4 ℕ • ‒2 ‒1 1 2 ℤ • ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 • + =

O conjunto dos números inteiros A representação dos números inteiros em uma reta r ... ‒5 ‒4 ‒3 ‒ 2 ‒ 1 +1 +2 +3 +4 +5 ...

O conjunto dos números inteiros A representação dos números inteiros em uma reta U X W Z O B D H r +5 +4 +3 +2 +1 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 ‒10 ‒11 ‒ 12 ‒9 ‒8 ‒7 ‒6 ‒5 ‒4 ‒3 ‒2 ‒1 O ponto D está no sentido positivo, a 4 unidades a direita de O: corresponde ao número inteiro 4 ou +4. O ponto W está no sentido negativo, a 4 unidade a esquerda de O: corresponde ao número inteiro –4.

O conjunto dos números inteiros Módulo ou valor absoluto de um número inteiro ‒1 ‒2 ‒3 +3 +2 +1 A O B A distância do ponto A (representado por –2) à origem (O) é 2 unidades. O número 2, que expressa a distância de A à origem, é chamado de valor absoluto ou módulo do número inteiro –2. Indicamos assim: |–2| = 2. módulo Note que a distância do ponto B (representado por +2) à origem (O) também é 2 unidades, ou seja, o valor absoluto ou o módulo de +2 também é 2. Simbolicamente |+2| = 2.

O conjunto dos números inteiros Módulo ou valor absoluto de um número inteiro O módulo de um número diferente de zero é sempre positivo. |–3| = 3 |23| = 23 |–21| = 21 |–105| = 105

Números opostos ou simétricos A O B ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 +4 +3 +2 +1 ... ‒2 e +2 são números simétricos O simétrico de +3 –(+3) = ‒3 O oposto de –4 –(‒4) = +4 ou 4

Comparação de números inteiros Comparar dois números significa dizer se o primeiro é maior do que (>), menor do que (<) ou igual (=) ao segundo número. –3 < +3 4 = 4 5 > 4 Qualquer número negativo é menor que o número positivo. –10 < 1 –5 < +3 O menor número entre dois números negativos é aquele tem o maior módulo. –1 > –3 –3 < - 2

Adição de números inteiros Somando inteiros positivos Quando as duas parcelas são positivas, o resultado da adição é sempre positivo e o módulo do resultado é obtido somando os módulos das parcelas. (+7) + (+4) = 7+ 4 = 11 ou +11 (+5) + (+5) = +5 + 5 = +10 Somando inteiros negativos Quando as duas parcelas são negativas, o resultado da adição é sempre negativo e seu módulo é obtido somando os módulos das parcelas. (–4) + (–4) = –4 – 4 = – 8 (–1) + (–1) = –1 – 1 = –2

Adição de números inteiros Somando inteiros opostos Quando as duas parcelas são dois números inteiros opostos ou simétricos, o resultado é zero. (–6) + (+6) = –6 + 6 = (–10) + (+10) = –10 + 10 = 0 Somando inteiros não opostos Quando as parcelas têm sinais diferentes e não são números opostos, o sinal do resultado é o sinal do número que tem maior módulo. E o módulo do resultado é obtido subtraindo o módulo menor do módulo maior. (–2) + (+5) = –2 + 5 = +3 (–9) + (+3) = –9 + 3 = –6

Propriedades da adição Propriedade comutativa A ordem das parcelas não altera a soma. (–3) + (+7) = +4 (–3) + (+7) = (+7) + (–3) (+7) + (–3) = +4 Propriedade associativa [(–7) + (+4)] + (+3) = [–3] + (+3) = 0 [(–7) + (+4)] + (+3) = (–7) + [(+4) + (+3)] (–7) + [(+4) + (+3)] = (–7) + (+7) = 0 Propriedade do elemento neutro (+5) + 0 = 0 + (+5) = +5 O zero é o elemento neutro da adição. (–3) + 0 = 0 + (–3) = (–3) = –3 Propriedade do elemento oposto O oposto de –5 é +5, pois (–5) + (+5) = 0

Subtração de números inteiros O sinal de menos na frente do parênteses, colchetes ou chaves indica o oposto do número. (–9) – (+2) = –9 – 2 = –11 o sinal de “menos” indica o oposto do +2, ou seja, –2. (–5) – (– 3) = –5 + 3 = –2 oposto de (–3), que é +3 No conjunto dos números inteiros (ℤ), a subtração é sempre possível.

Adição algébrica e soma algébrica Uma expressão numérica que contém somente as operações de adição e subtração representa uma adição algébrica. 15 – [18 – (–6 – 9)] = 10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7} = = 15 – [18 – (–15)] = = 10 + {–12 + [5 – (–8)] – 7} = = 15 – [18 + 15] = = 10 + {–12 + [5 + 8] – 7} = = 15 – 33 = = 10 + {–12 + 13 – 7} = = –18 = 10 + {–6} = Assim, –18 é a soma da expressão 15 – [18 – (–6 – 9)]. = 10 – 6 = = 4 Assim, 4 é a soma da expressão 10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7}.

Multiplicação de números inteiros Multiplicação de dois números inteiros positivos (+3) . (+5) = +15 0 . (+8) = 0 (+10) . (+5) = +50 3 . 5 = 15 A multiplicação de dois números inteiros positivos dá como resultado um número inteiro positivo. Os módulos devem ser multiplicados. Multiplicação de dois números inteiros com sinais diferentes (+5) . (– 3) = 5 . (– 3) = (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) = – 15 (– 7) . (+5) = – (+7) . (+5) = – (+35) = –35 O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros de sinais diferentes é sempre negativo e seu módulo é o produto dos módulos dos dois fatores.

Multiplicação de dois números negativos O resultado da multiplicação de números com sinais diferentes é sempre um número negativo. O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros negativos é sempre positivo, e seu módulo é o produto dos módulos dos dois fatores. (–5) . (–3) = – (+5) . (–3) = – (–15) = +15 (–5) = – (+5) Nos demais casos, contamos o número de fatores negativos: se esse número for par, o resultado será positivo; se esse número for ímpar, o resultado será negativo. (–5) . (–3) . (+2) = (+15) . (+2) = +30 (–5) . (–3) . (–2) = (+15) . (–2) = –30

Propriedades da multiplicação em ℤ Propriedade comutativa (–2) . (+5) = –10 A ordem dos fatores não altera o produto. (–2) . (+5) = (+5) . (–2) (+5) . (–2) = –10 Propriedade associativa [(–8) . (+9)] . (+3) = (–72) . (+3) = –216 [(–8) . (+9)] . (+3) = (–8) . [(+9) . (+3)] (–8) . [(+9) . (+3)] = (–8) . (+27) = –216 Propriedade do elemento neutro (+6) . (+1) = (+1) . (+6) = +6 O número +1 é o elemento neutro da multiplicação. Propriedade distributiva (+3) . [(+2) + (–5)] = (+3) . (+2) + (+3) . (–5) = +6 – 15 = –9

Divisão de números inteiros A divisão é a operação inversa da multiplicação. Se 3 . 5 = 15, então 15 : 5 = 3 e 15 : 3 = 5. (+20) : (+5) = (+4) (–30) : (–6) = (+5) Não existe divisão por zero. Nem sempre é possível realizar a divisão em ℤ. Por exemplo, (–7) : (+2) não pode ser realizada em ℤ, pois o quociente não é um número inteiro. sinais diferentes (+40) : (–5) = (–8)

Potenciação: número inteiro na base e número natural no expoente Base 0 e expoente diferente de 0 01 = 0 02 = 0 . 0 = 0 Base positiva (+8)1 = +8 (+2)3 = (+2) . (+2) . (+2) = +8 Base negativa (–5)1 = –5 (–6)2 = (–6) . (–6) = +36 Quando o expoente é ímpar, o sinal do resultado é negativo e seu módulo é obtido fazendo a potenciação do módulo da base. Quando o expoente é par, o sinal do resultado é positivo e seu módulo é obtido fazendo a potenciação do módulo da base.

Propriedades da potenciação em ℤ Produto de potências de mesma base: am . an = am + n Potência de uma potência: (am)n = am . n Quociente de potências de mesma base: am : an = am – n, com a ≠ 0 Potência de um produto ou de um quociente: (a . b)n = an . bn = , (b ≠ 0)

Raiz quadrada exata de número inteiro Raiz quadrada exata dos números inteiros positivos e do zero Por exemplo: = 3 , pois 3 . 3 = 9, podemos escrever = +3, pois (+3)2 = +9. é impossível em ℤ, pois não existe número inteiro que elevado ao quadrado dê +10. A raiz quadrada de um número negativo é impossível em ℤ Por exemplo: é impossível em ℤ, pois não existe número inteiro que elevado ao quadrado dê –9.

Outras expressões numéricas com números inteiros Exemplos: (–3 + 9 – 1 – 7)2 = : (+2) + (–5)2 . (–4) = = (–11 + 9)2 = = (+6) : (+2) + (+25) . (–4) = = (–2)2 = = (+3) + (–100) = = +4 = –97 (–2) . [(–3) – (–2)] = = (–2) . [(–3) + (+2)] = = (–2) . (–1) = = +2