Consideremos o sistema Matrizes Conceitos Básicos Consideremos o sistema a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1 a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2 a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3 ... am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm A= a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n a31 a32 a33 a3n ... ... am1 am2 am3 amn ... Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Matriz de ordem m por n de elementos aij Matrizes Conceitos Básicos a13= 2 3x5 a34= 7 Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

As matrizes podem ser classificadas segundo: Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxn As matrizes podem ser classificadas segundo: A forma A natureza dos elementos

Se o número de linhas é diferente do número de colunas Matrizes Conceitos Básicos Segundo a forma em: Amxn = [aij]mxn Rectangular Se o número de linhas é diferente do número de colunas Quadrada Se o número de linhas é igual do número de colunas Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m Linha Se o número de linhas é igual a um Coluna Se o número de colunas é igual a um

Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Real se todos os seus elementos são reais Complexa se pelo menos um dos seus elementos é complexo Nula se todos os seus elementos são nulos

Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Triangular Superior uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos

Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Diagonal uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos Escalar uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais

Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Simétrica se os elementos aij são iguais aos aji Densa se a maioria dos seus elementos são não nulos Dispersa se a maioria dos seus elementos são nulos

Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de Operações com Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. 3 3 6 6 4 5 4 6

goza das seguintes propriedades: Matrizes Operações com Matrizes A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa

Assim o conjunto M mxn forma um Grupo Aditivo Comutativo Matrizes Operações com Matrizes A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades: Comutativa Assim o conjunto M mxn forma um Grupo Aditivo Comutativo Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa

Sejam A uma matriz e l um escalar O produto de l por A é uma matriz C Matrizes Operações com Matrizes Produto por um escalar Sejam A uma matriz e l um escalar O produto de l por A é uma matriz C do mesmo tipo de A que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por l

e os escalares l e m as seguintes propriedades são válidas: Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo e os escalares l e m as seguintes propriedades são válidas:

Consideremos o sistema Matrizes Operações com Matrizes Consideremos o sistema a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1 a11x 1 + ... + a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + a2nx n = b2 a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + a3nx n = b3 ... am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + amnx n = bm = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a1n ... a2n a31 a32 a33 a3n am1 am2 am3 amn x1 x2 x3 ... xn b1 b2 b3 ... bm Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 =

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 27 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

O produto de matrizes não é comutativo Operações com Matrizes Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp. O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp cujos elementos são dados por: e escreve-se C=AB. O produto de matrizes não é comutativo

Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar. Operações com Matrizes Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar. Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades são válidas:

Transposição de Matrizes Operações com Matrizes Transposição de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: e escreve-se B=AT

Dadas as matrizes A e B e a um escalar. Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B e a um escalar. Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, as seguintes propriedades são válidas: