Sistema Formal Um Sistema Formal para a lógica proposicional é uma 2-tupla < L, R >, onde: L: linguagem proposicional R: conjunto de regras de inferências

Derivação de uma fórmula Representação: ├  Uma derivação (ou prova, ou demonstração) de uma fórmula  a partir de um conjunto  de fórmulas (premissas), é uma seqüência < 1, 2, 3, ..., n> de fórmulas, tal que: 1.    n =  2.    Cada i, 1  i  n, pode ser: Uma premissa, Uma hipótese ou Obtida de fórmulas anteriores da seqüência pela aplicação de uma regra de inferência.

Derivação de uma fórmula Se  é derivada no Sistema Formal a partir de 0(zero) premissas, então,  é dito ser um Teorema do Sistema. ├  Um teorema é uma fórmula para a qual existe uma prova.

Exemplos: 1) ├ P  (P v Q) 1. | P H p/ PC 2. | P v Q 1 vI 3. P  (P v Q) 1-2 PC

Exemplos: 2) ├ P  ((P  Q)  Q) 1. | P H p/ PC 2. | | P  Q H p/ PC 3. | | Q 1, 2 MP 4. | (P  Q)  Q 2- 3 PC 5. P  ((P  Q)  Q) 1- 4 PC

Exemplos: 3) ├ P ↔ ~~ P 1. | P H (p/ PC) 2. | | ~P H (p/ RAA) 3. | | P ^ ~P 1, 2 ^I 4. | ~~P 2, 3 RAA 5. P  ~~P 1-4 PC 6. | ~~P H (p/ PC) 7. | P 6 ~E 8. ~~P  P 6 -7 PC 9. P ↔ ~~P 5,8 ↔ I

Exemplos: 4) ├ P  P 1. | P H (p/ PC) 2. P  P 1-1 PC

Exemplos: 5) ├ (PQ)  (~Q~P) 1. | P  Q H (p/ PC) 3. | | ~P 1,2 MT 4. | ~Q  ~P 2-3 PC 5. (PQ)  (~Q~P) 1-4 PC

Um Outro Sistema Formal: Existem infinitos Sistemas Formais. Vamos chamar o que estamos vendo de S1 S1 = <L, R> L: linguagem proposicional R: conjunto das regras de inferência

Um Outro Sistema Formal: Superficialmente veremos um outro sistema formal para a lógica proposicional (vamos chama-lo S2). Esse é o Sistema de Hilbert O nosso objetivo será, através de S2 observar uma outra formulação da Lógica Proposicional.

Sistema Hilbert Características de S2: Usa apenas dois conectivos lógicos ~ e → Ex: Para escrever P ^ Q escreve-se ~(P→~Q) Usa apenas uma regra de inferência – Modus Ponens (MP)

Sistema Hilbert (Características) É formado pela 3-tupla {L, A, R} S2 = < L, A, R >, onde: L: Linguagem Proposicional R: { MP } A: Conjunto de todas as fórmulas obtidas dos três seguintes esquemas de axiomas:

Sistema Hilbert (Axiomas)

Sistema Hilbert A derivação (ou prova) de uma fórmula em S2 é feita da mesma forma que em S1, onde usa-se apenas os três axiomas, e uma regra de inferência, MP (Modus Ponens).

├ α  α para qualquer fórmula α Exemplos 1 - Mostre nos dois sistemas a derivação do teorema: ├ α  α para qualquer fórmula α No S1: ├ α  α 1. | α H p/ PC 2. α  α 1-1 PC

Exemplos No S2: ├ α  α 1. (α((αα)α))((α(αα))(αα)) A2 3. (α(αα))  (αα) 1c/2 MP 4. (α(αα)) A1 5. αα 3c/4 MP

Exemplos Padrões que foram usados na derivação ├ α  α no S2 : Em 1 e 2 os axiomas A2 e A1, com o padrão:  = α  = α  α  = α Em 4 usamos o axioma A1 com o padrão:  = α

Exemplos 2 - Prove ├ (~) para qualquer  No S1: 1. | ~ H (p/ PC) 2. | | ~ H (p/ RAA) 3. | |  1,2 MP 4. | | ~^ 2,3 ^I 5. | ~~ 1-4 RAA 6. |  5 ~E 7. (~) 1-6 PC

Exemplos No S2: ├ (~) 1. (~((~~)~))((~(~~))(~~)) (A2) 2. (~((~~)~)) (A1) 3. (~(~~))(~~) (1 e 2 p/ MP) 4. ~(~~) (A1) 5. ~~ (3 e 4 p/ MP) 6. (~~)((~)) (A3) 7. (~) (5 e 6 p/MP)

Exemplos Padrões que foram usados na derivação ├ (~) no S2 : Em 1. Axioma A2 ( = ~;  = (~~);  = ~) Em 2. Axioma A1 ( = ~;  = (~~) Em 4. Axioma A1 ( = ~;  = ~) Em 6. Axioma A3 ( = ;  = ) Observar que S1 e S2 são “equivalentes”.

Teoremas da Coerência e Completude Um Sistema Formal S é coerente (sound) e completo se: ├  se e somente se  |═  Derivação ↔ implicação lógica

Teoremas da Coerência e Completude Teorema 1: (Sondness ou coerência) Se |--  então |=  Ou seja, todo teorema (derivação) é uma tautologia (fórmula válida) Teorema 2: (completude) Se |= então |--  Ou seja, toda tautologia (formúla válida) é um teorema (derivação)

Teoremas da Coerência e Completude Esses teoremas mostram que temos duas maneiras independentes, mas mutuamente consistentes de definir a noção de verdade lógica: Através da noção de teorema (sintaticamente) Através da noção de tautologia (semânticamente)

Semântica da Lógica Proposicional Vimos até agora uma formulação sintática (noções puramente sintáticas) da lógica proposicional: Linguagem Regras, teoremas, provas Vamos ver agora uma formulação funcional da Lógica Proposicional (semântica): Função/atribuição de valores-verdade (Verdadeiro ou Falso)