AULA 2 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II Fonte: Anton, Stewart, Thomas. Material Daniela Buske Prof. Guilherme J. Weymar CEng - UFPel

TÓPICOS: Vetores: Componentes de um vetor Operações algébricas com vetores Vetores unitários

Introdução: Algumas das coisas que medimos são determinadas simplesmente pela sua magnitude. Por exemplo: para registrar a massa, o comprimento ou o tempo precisamos apenas escrever um nº e especificar uma unidade de medida apropriada; para descrever uma força, um deslocamento ou uma velocidade precisamos de mais informação: Força: precisamos registrar a direção e o sentido nos quais ela atua, bem como seu tamanho; Deslocamento de um corpo: temos de dizer em qual direção ele se moveu, assim como a distância percorrida; Velocidade de um corpo: temos de saber aonde o corpo está indo, como também qual é a rapidez do movimento.

Vetor e suas componentes: O termo vetor é usado por cientistas para indicar quantidades tais como deslocamento ou velocidade ou força que tenham ao mesmo tempo grandeza, magnitude, direção e sentido.

A seta do vetor aponta a direção e o sentido da ação, seu comprimento fornece a magnitude da ação em termos de uma unidade adequada escolhida. Por exemplo: um vetor força aponta na direção na qual ela é aplicada e seu comprimento é a medida da sua intensidade; um vetor velocidade aponta na direção e no sentido do movimento e seu comprimento é a velocidade do objeto que se move.

Exemplo:

As setas que usamos quando desenhamos vetores representam o mesmo vetor se têm o mesmo comprimento, são paralelas e apontam para o mesmo sentido independentemente do ponto inicial.

Exemplo ... Vetor com pto inicial não na origem

A magnitude ou comprimento do vetor é o comprimento de qualquer uma das representações equivalentes de seus segmentos de reta orientados. Em particular, se é o vetor posição para então a fórmula da distância dá a magnitude ou comprimento de v, denotada pelo símbolo |v| ou ||v|| (também chamado de norma de v). OBS.: o único vetor com comprimento 0 é o vetor nulo 0=<0,0> ou 0=<0,0,0> e o único sem direção específica.

Exemplo ...

Operações com vetores:

Soma de vetores:

Multiplicação por escalar: Diferença de vetores:

Uma aplicação importante de vetores ocorre em navegação:

Vetores unitários: Um vetor v de comprimento 1 é chamado vetor unitário. Os vetores unitários padrão são: i = <1,0,0>, j = <0,1,0> e k = <0,0,1>. Qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores unitários padrão da seguinte forma: Exemplo ...

Chamamos o escalar (ou nº) de componente i do vetor v, é a componente j e a componente k.

Sempre que , o seu comprimento |v| não é zero e Ou seja, v/|v| é um vetor unitário na direção de v chamado direção ou versor do vetor não-nulo v. O processo de multiplicação de um vetor v pelo recíproco de seu comprimento para obter um vetor unitário com a mesma direção e sentido é chamado de normalização de v.

Resumo:

Ponto médio de um segmento de reta: